Tauberian theorems. (English) JFM 58.0226.02

Wiener, N.

Annals of Math. (2) 33, 1-100 (1932).

Im Anschlußan frühere vorbereitende Arbeiten (1927, 1928; F. d. M. 53, 283 (JFM 53.0283.*); 54, 241) entwickelt Verf. eine großangelegte allgemeine Theorie der Umkehrsätze Tauberscher Art (Tauberian theorems) mittels harmonischer Analyse. Man weiß, daßdie tiefer gelegenen Umkehrsätze, wie etwa der des Abelschen Verfahrens, zu ihrer ursprünglichen Bewältigung schwierige spezielle analytische Methoden erforderten. R. Schmidt (1925; F. d. M. 51, 182 (JFM 51.0182.*), 184) gab als erster eine umfassendere Theorie, indem er den Zusammenhang aller dieser speziellen Fragen mit einem gewissen Stieltjesschen Momentenproblem erkannte und als gemeinsamen Ausgangspunkt nutzbar machte. Dieze Methode versagt freilich bei dem wegen der Äquivalenz (im speziellen Falle) mit dem Primzahlsatze besonders wichtigen Umkehrsatze des “Abelschen Verfahrens” für Lambert-Reihen.
Die Arbeit des Verf. zeigt nun die kraftvolle Rolle, welche die harmonische Analyse, genauer die Fouriersche Transformation, in diesem Problemkreise zu spielen vermag. Viele der R. Schmidtschen Gesichtspunkte werden jetzt erst voll auswertbar, und man erhält sehr allgemeine Sätze mit durchsichtigen Beweisen, die wohl alle bisher bekannten Tauberschen Sätze einschließlich desjenigen für Lambertreihen leicht zugänglich machen. Aber auch wo man, wie z. B. beim Hardy-Littlewoodschen Umkehrsatze des Abelschen Verfahrens (1914; F. d. M. {bf 45}, 389), heute einfache spezielle Beweisverfahren besitzt (Karamata 1930; F. d. M. {bf \(56_I\)}, 210), werden diese von dem neuen allgemeinen Standpunkte aus erst ins rechte Licht gesetzt.
Die Arbeit ist in acht Kapitel gegliedert:
Kap. I gibt die entscheidenden Grundlagen für die Theorie. Es handelt sich hier um die Klasse aller Translationen \(f(x+\lambda )\), \(\lambda \) reell, wobei \(f(x)\) eine für alle reellen \(x\) definierte reelle oder komplexe Funktion ist. Und zwar wird, je nachdem \(f(x)\) der Lebesgueschen Klasse \(L_1\) oder \(L_2\) angehört, die Abgeschlossenheit jener Translationen im Funktionenraume \(L_1\) oder \(L_2\) untersucht. Ist nun \[ g(u)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{iux}dx \] die fouriersche Transformierte von \(f(x)\), so ist notwendig und hinreichend für die Abgeschlossenheit der Translationen von \(f(x)\), daß\^^M\(g(u)\) (im Falle \(L_1\)) keine reellen Nullstellen bzw. (im Falle \(L_2\)) solche höchstens im Maße 0 besitzt. Im Hinblick auf “Stieltjes- Mittelbildungen” wird etwas Entsprechendes noch für einen geeignet definierten “Stieltjes”-Funktionenraum bewiesen.
Kap. II liefert als unmittelbare Anwendungen asymptotische Eigenschaften von Mittelbildungen.
Es sei \(f(x)\) eine beschränkte meßbare Funktion, während der Kern \(K_1(x)\) aus \(L_1\) sei. Dann ist das Nichtverschwinden (im Reellen) der Fourierschen Transformierten von \(K_1(x)\) hinreichend dafür. daß\^^Maus \[ \lim _{x\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty } f(\xi )K_1(\xi -x)d\xi = A\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_1(\xi )d\xi \] für jeden Kern \(K_2(x)\) aus \(L_1\)auch \[ \lim _{x\to \infty } \int \limits _{-\infty }^{\infty } f(\xi )K_2(\xi -x)d\xi = A \int \limits _{-\infty }^{\infty } K_2(\xi )d\xi \] folgt. Wenn \(\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_1(\xi )d\xi \neq 0\) ist, ist dies auch notwendig.
Es folgen entsprechende Sätze bei Stieltjes-Mittelbildungen, auch für den Fall nur einseitig beschränkter \(f(x)\).
Kap. III bringt die allgemeinen Sätze Tauberscher Art, deren wichtigster der folgende ist: \(f(x)\) sei in?dem Intervall \((-\infty, A)\) von beschränkter Schwankung,
\(f(-\infty ) =0\) und für alle \(y\) \[ \int \limits _{y}^{y+1}| df(x)| -f(y+1)+f(y)\leqq N. \tag{*} \] \(M(x)\) sei monoton fallend und stetig, \(M(-\infty )=1\) und für ein \(u>0\) mit \(x\to \infty \) \[ M(x)=O(e^{-ux}). \] Schließlich sei die durch \[ \varphi (x)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int \limits _{-\infty }^{\infty } M(x)e^{xz}dx \] in einem dewissen Streifen der rechten Halbebene definierte Funktion auf die imaginäre Achse (außer \(z=0\)) analytisch fortsetzbar und dort von 0 verschieden. Ist dann \[ \int \limits _{-\infty }^{\infty } M(\xi -x)df(\xi ) \] beschränkt und \[ \lim _{x\to \infty } \int \limits _{-\infty }^{\infty } M(\xi -x)df(\xi )=B, \] so gilt für jedes \(\varepsilon >0\) \[ \lim _{x\to \infty } \frac {1}{\varepsilon } \int \limits _{x}^{x+\varepsilon } f(\xi )d\xi =B. \] Die Bedingung (*) entspricht den Hardy-Littlewoodschen Voraussetzungen beim Abelschen Umkehrsatz. Ersetzt man sie durch die R. Schmidtsche Voraussetzung, daß\(f(x)\) “schwach” fallend sei, so kann auf \[ \lim _{x\to \infty } f(x)=B \] geschlossen werden.
In Kap. IV wird zunáchst auf dem Wege über den aus den allgemeinen Sätzen folgenden Tauberschen Satz bei der Lambert-Reihe \(\sum \limits _{1}^{\infty }\Lambda _n \dfrac {x^n}{1-x^n}\) ein neuer Beweis des Primzahlsatzes gegeben, bei dem von der Riemannschen Funktion \(\zeta (s)\) nur benutzt wird, daßsie für \(\sigma \geqq 1\) (mit Ausnahme des Poles erster Ordnung \(s=1\) mit dem Residuum 1) regulär und \(\neq 0\) ist (vgl. Wiener 1928; F. d. M. 54, 241 (JFM 54.0241.*)). Es folgt sodann ein Beweis der wichtigen Verallgemeinerung von Ikehara (1931; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 212) des in diesem Zusammenhange bekannten Landauschen Grenzwertsatzes (1907; F. d. M. 38, 295 (JFM 38.0295.*)) bei Dirichletschen Reihen.
Kap. V bringt weitere Anwendungen, insbesondere auf asymptotische Entwicklungen, und die Untersuchungen von Hardy-Littlewood zum Youngschen Kriterium bei Fourierreihen (1928; F. d. M. 54, 302 (JFM 54.0302.*); s. a. Littauer, 1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 734).
In engem Anschlußan die “gestrahlten Mittelbildungen” von R. Schmidt werden in Kap. VI allgemeinere Kerne \(K(x,\xi )\) bzw. \(M(x,\xi )\) als bisher herangezogen und so weitere Sätze Tauberscher Art von Hardy- Littlewood und insbesondere der R. Schmidtsche Umkehrsatz des Borelschen Verfahrens bewiesen.
Kap. VII bringt einige Sätze mit Anwendungen, die Verf. als “quasi-tauberian” bezeichnet, weil die für die Sätze Tauberscher Art charakteristischen Beschränkungen für \(f(x)\) unnötig sind. Es gilt z. B: \(K_1(x)\) sei stetig und beschränkt, \[ K_1(x)\sim A_1 e^{\lambda x},\quad A_1\neq 0,\quad \lambda >0;\quad \int \limits _{-\infty }^{\infty }| d(K_1(x) e^{-\lambda x})| <C. \] Für die Funktion \(R(z)\) seien \[ \int \limits _{-\infty }^{\infty } e^{-\lambda z}| dR(z)|,\quad \int \limits _{-\infty }^{\infty } | dR(z)| \] beschränkt, und es sei \[ K_2(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_1(x-z)dR(z). \] Ist dann \(f(x)\) in jedem endlichen Intervall von beschränkter Schwankung, so folgt aus \[ \lim \limits _{y\to \infty } \int \limits _{0}^{\infty } K_1 (y-x)df(x)= A\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_1(x)dx \] auch \[ \lim \limits _{y\to \infty } \int \limits _{0}^{\infty } K_2(y-x)df(x)= A\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_2(x)dx. \] Im letzten Kap. werden zunächst die allgemeinen asymptotischen Sätze des Kap. II auf den Fall ausgedehnt, daßder gewöhnliche limes durch einen “sublimes” ersetzt wird. \[ \underset {x\to \infty } {slm} f(x)=A \] soll \[ \lim \limits _{B\to \infty }\frac {1}{B} \int \limits _{0}^{B} | f(x)-A| ^2 dx=0 \] bedeuten. Diese Definition steht in einer gewissen Analogie zur “starken Konvergenz” bei Folgen. Von hier aus entwirft Verf. einen Ausblick auf eine nicht-lineare Summierungstheorie.
Die Arbeit endet mit einem umfangreichen Literaturverzeichnis. Überhaupt wird der Leser durch vielse historische und literarische Angaben im Text über den Stand der ganzen Theorie gut unterrichtet.

Reviewer: Rogosinski, W., Prof. (Königsberg in Preußen)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 2. Theorie der unendlichen Zahlenfolgen.

Citations:

JFM 53.0283.*; JFM 51.0182.*; JFM 54.0241.*; JFM 38.0295.*; JFM 54.0302.*