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Tauberian theorems. (English) JFM 58.0226.02
Im Anschluß an frühere vorbereitende Arbeiten (1927, 1928; F. d. M. 53, 283 (JFM 53.0283.*); 54, 241) entwickelt Verf. eine groß angelegte allgemeine Theorie der Umkehrsätze {\it Tauber}scher Art (Tauberian theorems) mittels harmonischer Analyse. Man weiß, daß die tiefer gelegenen Umkehrsätze, wie etwa der des {\it Abelschen} Verfahrens, zu ihrer ursprünglichen Bewältigung schwierige spezielle analytische Methoden erforderten. {\it R. Schmidt} (1925; F. d. M. 51, 182 (JFM 51.0182.*), 184) gab als erster eine umfassendere Theorie, indem er den Zusammenhang aller dieser speziellen Fragen mit einem gewissen {\it Stieltjes}schen Momentenproblem erkannte und als gemeinsamen Ausgangspunkt nutzbar machte. Dieze Methode versagt freilich bei dem wegen der Äquivalenz (im speziellen Falle) mit dem Primzahlsatze besonders wichtigen Umkehrsatze des {\it “Abels}chen Verfahrens” für {\it Lambert}-Reihen. Die Arbeit des Verf. zeigt nun die kraftvolle Rolle, welche die harmonische Analyse, genauer die {\it Fourier}sche Transformation, in diesem Problemkreise zu spielen vermag. Viele der {\it R. Schmidts}chen Gesichtspunkte werden jetzt erst voll auswertbar, und man erhält sehr allgemeine Sätze mit durchsichtigen Beweisen, die wohl alle bisher bekannten {\it Taubers}chen Sätze einschließ lich desjenigen für {\it Lambert}reihen leicht zugänglich machen. Aber auch wo man, wie z. B. beim {\it Hardy-Littlewoods}chen Umkehrsatze des {\it Abels}chen Verfahrens (1914; F. d. M. {bf 45}, 389), heute einfache spezielle Beweisverfahren besitzt ({\it Karamata} 1930; F. d. M. {bf $56_I$}, 210), werden diese von dem neuen allgemeinen Standpunkte aus erst ins rechte Licht gesetzt. Die Arbeit ist in acht Kapitel gegliedert: Kap. I gibt die entscheidenden Grundlagen für die Theorie. Es handelt sich hier um die Klasse aller Translationen $f(x+\lambda )$, $\lambda $ reell, wobei $f(x)$ eine für alle reellen $x$ definierte reelle oder komplexe Funktion ist. Und zwar wird, je nachdem $f(x)$ der {\it Lebesgues}chen Klasse $L_1$ oder $L_2$ angehört, die Abgeschlossenheit jener Translationen im Funktionenraume $L_1$ oder $L_2$ untersucht. Ist nun $$g(u)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{iux}dx$$ die {\it fouriers}che Transformierte von $f(x)$, so ist notwendig und hinreichend für die Abgeschlossenheit der Translationen von $f(x)$, daß ^M$g(u)$ (im Falle $L_1$) keine reellen Nullstellen bzw. (im Falle $L_2$) solche höchstens im Maß e 0 besitzt. Im Hinblick auf {\it “Stieltjes- Mittelbildungen”} wird etwas Entsprechendes noch für einen geeignet definierten {\it “Stieltjes”}-Funktionenraum bewiesen. Kap. II liefert als unmittelbare Anwendungen asymptotische Eigenschaften von Mittelbildungen. Es sei $f(x)$ eine beschränkte meß bare Funktion, während der Kern $K_1(x)$ aus $L_1$ sei. Dann ist das Nichtverschwinden (im Reellen) der {\it Fouriers}chen Transformierten von $K_1(x)$ hinreichend dafür. daß ^Maus $$\lim _{x\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty } f(\xi )K_1(\xi -x)d\xi = A\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_1(\xi )d\xi $$ für jeden Kern $K_2(x)$ aus $L_1$auch $$\lim _{x\to \infty } \int \limits _{-\infty }^{\infty } f(\xi )K_2(\xi -x)d\xi = A \int \limits _{-\infty }^{\infty } K_2(\xi )d\xi $$ folgt. Wenn $\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_1(\xi )d\xi \ne 0$ ist, ist dies auch notwendig. Es folgen entsprechende Sätze bei {\it Stieltjes}-Mittelbildungen, auch für den Fall nur einseitig beschränkter $f(x)$. Kap. III bringt die allgemeinen Sätze {\it Taubers}cher Art, deren wichtigster der folgende ist: $f(x)$ sei in?dem Intervall $(-\infty, A)$ von beschränkter Schwankung,\newline $f(-\infty ) =0$ und für alle $y$ $$\int \limits _{y}^{y+1}\vert df(x)\vert -f(y+1)+f(y)\leqq N. \tag *$$ $M(x)$ sei monoton fallend und stetig, $M(-\infty )=1$ und für ein $u>0$ mit $x\to \infty $ $$M(x)=O(e^{-ux}). $$ Schließ lich sei die durch $$\varphi (x)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int \limits _{-\infty }^{\infty } M(x)e^{xz}dx$$ in einem dewissen Streifen der rechten Halbebene definierte Funktion auf die imaginäre Achse (auß er $z=0$) analytisch fortsetzbar und dort von 0 verschieden. Ist dann $$\int \limits _{-\infty }^{\infty } M(\xi -x)df(\xi )$$ beschränkt und $$\lim _{x\to \infty } \int \limits _{-\infty }^{\infty } M(\xi -x)df(\xi )=B,$$ so gilt für jedes $\varepsilon >0$ $$\lim _{x\to \infty } \frac {1}{\varepsilon } \int \limits _{x}^{x+\varepsilon } f(\xi )d\xi =B. $$ Die Bedingung (*) entspricht den {\it Hardy-Littlewoods}chen Voraussetzungen beim {\it Abels}chen Umkehrsatz. Ersetzt man sie durch die {\it R. Schmidts}che Voraussetzung, daß $f(x)$ “schwach” fallend sei, so kann auf $$\lim _{x\to \infty } f(x)=B$$ geschlossen werden. In Kap. IV wird zunáchst auf dem Wege über den aus den allgemeinen Sätzen folgenden {\it Taubers}chen Satz bei der {\it Lambert}-Reihe $\sum \limits _{1}^{\infty }\Lambda _n \dfrac {x^n}{1-x^n}$ ein neuer Beweis des Primzahlsatzes gegeben, bei dem von der {\it Riemanns}chen Funktion $\zeta (s)$ nur benutzt wird, daß sie für $\sigma \geqq 1$ (mit Ausnahme des Poles erster Ordnung $s=1$ mit dem Residuum 1) regulär und $\ne 0$ ist (vgl. {\it Wiener} 1928; F. d. M. 54, 241 (JFM 54.0241.*)). Es folgt sodann ein Beweis der wichtigen Verallgemeinerung von {\it Ikehara} (1931; F. d. M. $57_{\text{I}}$, 212) des in diesem Zusammenhange bekannten {\it Landau}schen Grenzwertsatzes (1907; F. d. M. 38, 295 (JFM 38.0295.*)) bei {\it Dirichlets}chen Reihen. Kap. V bringt weitere Anwendungen, insbesondere auf asymptotische Entwicklungen, und die Untersuchungen von {\it Hardy-Littlewood} zum {\it Young}schen Kriterium bei {\it Fourier}reihen (1928; F. d. M. 54, 302 (JFM 54.0302.*); s. a. {\it Littauer}, 1929; F. d. M. $55_{\text{II}}$, 734). In engem Anschluß an die “gestrahlten Mittelbildungen” von {\it R. Schmidt} werden in Kap. VI allgemeinere Kerne $K(x,\xi )$ bzw. $M(x,\xi )$ als bisher herangezogen und so weitere Sätze {\it Taubers}cher Art von {\it Hardy- Littlewood} und insbesondere der {\it R. Schmidts}che Umkehrsatz des {\it Borel}schen Verfahrens bewiesen. Kap. VII bringt einige Sätze mit Anwendungen, die Verf. als “quasi-tauberian” bezeichnet, weil die für die Sätze {\it Taubers}cher Art charakteristischen Beschränkungen für $f(x)$ unnötig sind. Es gilt z. B: $K_1(x)$ sei stetig und beschränkt, $$K_1(x)\sim A_1 e^{\lambda x},\quad A_1\ne 0,\quad \lambda >0;\quad \int \limits _{-\infty }^{\infty }\vert d(K_1(x) e^{-\lambda x})\vert <C. $$ Für die Funktion $R(z)$ seien $$\int \limits _{-\infty }^{\infty } e^{-\lambda z}\vert dR(z)\vert,\quad \int \limits _{-\infty }^{\infty } \vert dR(z)\vert $$ beschränkt, und es sei $$K_2(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_1(x-z)dR(z). $$ Ist dann $f(x)$ in jedem endlichen Intervall von beschränkter Schwankung, so folgt aus $$\lim \limits _{y\to \infty } \int \limits _{0}^{\infty } K_1 (y-x)df(x)= A\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_1(x)dx$$ auch $$\lim \limits _{y\to \infty } \int \limits _{0}^{\infty } K_2(y-x)df(x)= A\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_2(x)dx. $$ Im letzten Kap. werden zunächst die allgemeinen asymptotischen Sätze des Kap. II auf den Fall ausgedehnt, daß der gewöhnliche limes durch einen “sublimes” ersetzt wird. $$\underset {x\to \infty }\to {s\/lm} f(x)=A$$ soll $$\lim \limits _{B\to \infty }\frac {1}{B} \int \limits _{0}^{B} \vert f(x)-A\vert ^2 dx=0$$ bedeuten. Diese Definition steht in einer gewissen Analogie zur “starken Konvergenz” bei Folgen. Von hier aus entwirft Verf. einen Ausblick auf eine nicht-lineare Summierungstheorie. Die Arbeit endet mit einem umfangreichen Literaturverzeichnis. Überhaupt wird der Leser durch vielse historische und literarische Angaben im Text über den Stand der ganzen Theorie gut unterrichtet.
Reviewer: Rogosinski, W.; Prof. (Königsberg in Preußen)

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