Einige Sätze über meßbare Abbildungen. (German) JFM 58.0251.01

v. Neumann, J.

Annals of Math. (2) 33, 574-586 (1932).

Zu jeder eineindeutigen umkehrbar meßbaren und maßtreuen Abbbildung \(\varphi \) einer Menge \(\varOmega \) auf eine Menge \(\varOmega '\) gehört eine “Mengenabbildung” \(\varphi _m\), d. h. eine eineindeutige Abbildung der Menge \(\varOmega _m\) aller meßbaren Teilmengen von \(\varOmega \) auf die entsprechende Menge \(\varOmega _m'\) mit Erhaltung der Maße und Isomorphie der Mengensummen- und Durchschnittsoperation. Es wird die Umkehrung bewiesen: Eine “Mengenabbildung” \(\psi \) von \(\varOmega _m\) auf \(\varOmega _m'\) erzeugt eine eineindeutige umkehrbar meßbare und maßtreute Abbildung \(\varphi \) von \(\varOmega \) auf \(\varOmega '\), so daß die Gleichung \(\varphi _m=\psi \) jeweils bis auf eine Nullmenge genau ist. Weiter wird gezeigt, daß eine eineien deutige meßbare und maßtreue Abbildung umkehrbar meßbar ist. Als Anwendung davon wird ein Satz des Verf. (Annals of Math. (2) 32 (1931), 191-226 (F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 469), insbesondere S. 194,Satz 1) über Lebesguesche Integrale verallemeinert.

Reviewer: Aumann, G., Prof. (Frankfurt am Main)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. C. Neuere Theorie der reellen Funktionen.