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On the functions of Besicovitch in the space of continuous functions. (English) JFM 58.0256.03

Verf. bezeichnet als “Weierstraßsche Funktion” die stetigen Funktionen, die in keinem Punkte eine beiderseitige (endliche oder unendliche) Ableitung haben, und als “Besicovichtsche Funktionen” die stetigen Funktionen, die in keinem Punkte eine einseitige (endliche oder unendliche) Ableitung besitzen. Mazurkiewicz und Banach (1931; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 305) hatten bewiesen, daßdie Komplementärmenge der Klasse derjenigen stetigen Funktionen, die in keinem Punkte eine endliche einseitige Ableitung besitzen, im Raum \({\mathfrak C}\) aller stetigen Funktionen eine Menge erster Kategorie bildet. Dasselbe ist der Fall für die Komplementärmenge der Weierstraßschen Funktionen. Banach und Steinhaus hatten das Problem gestellt, ob sich die Besicovitchschen Funktionen ebenso verhalten. Überraschenderweise kann Verf. zeigen. daßdies nicht der Fall ist, daßvielmehr die Komplementärmenge der Besicovitchschen Funktionen im Raume \({\mathfrak C}\) überall von zweiter Kategorie ist. Und er zeigt noch darüber hinaus -unter Verwendung einer brieflichen Mitteilung von Banach -, daßdie Klasse der Besicovitchschen Funktionen von erster Kategorie in \({\mathfrak C}\) ist (da nämlich bewiesen werden kann, daßdiese Klasse eine analytische Menge ist und deshalb die Bairesche Eigenschaft besitzt). Das zeigt also, daßdie Menge der Weierstraßschen Funktionen sehr viel umfassender ist als die der Besicovitchschen Funktionen, was zugleich erklärt, warum es viel schwieriger gewesen ist, das erste Beispiel einer Funktion der letzteren Art zu finden.
Übrigens beweist Verf. gleich noch allgemeiner, daßjede stetige Funktion -abgesehen von einer Klasse von erster Kategorie in \({\mathfrak C}\) - in einer nicht-abzählbaren Punktmenge eine rechtsseitige Ableitung \(+\infty \) besitzt.

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