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Ein Satz über trigonometrische Polynome und seine Anwendung in der Theorie der Fourier-Reihen. (German) JFM 58.0268.06

Es wird zunächst bewiesen:
Die Folge positiver ganzer Zahlen \(\lambda _n\) erfülle die Bedingung \[ \frac {\lambda _{n+1}}{\lambda _n}>q>1. \] Dann gibt es zu jedem ganzen \(n>0\) und vorgegebenen Zahlen \[ \varepsilon _k',\varepsilon _k'' \quad \text{mit} \quad \sum \limits _{k=1}^{n}(\varepsilon _k^{'2}+\varepsilon _k^{"2})=1 \] ein trigonometrische Polynom \[ T_n(x)=\sum \limits _{i=0}^{n} (a_i\cos ix +b_i\sin ix) \] mit \(| T_n(x)| \leqq C(q)\) und \(a_{\lambda _k}=\varepsilon _k', b_{\lambda _k}=\varepsilon _k''\) für \(k\leqq n\).
Hieraus folgt dann:
Ist die Reihe \(\sum \limits _{n=1}^{\infty }(\varepsilon _n^{'2}+\varepsilon _n^{"2})\) konvergent, so gibt es eine stetige Funktion mit den Fourierkoeffizienten \(a_{\lambda _k}=\varepsilon _k',b_{\lambda _k}=\varepsilon _k''\).
Es gibt also keine andere qualitative Aussage für die Fourierkoeffizienten stetiger Funktionen als die Konvergenz der \(\sum \limits _{1}^{\infty }(a_k^2+b_k^2)\). (Vgl. die nachstehend besprochene Arbeit. )

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References:

[1] Durch Satz II ist eine von mir in einer früheren Arbeit (Einige Sätze und Fragestellungen über Fourier-Koeffizienten. Erscheint in der Math. Zeitschrift) gestellte Frage beantwortet. Siehe auch die Berichtigung zu dieser Arbeit.
[2] In Satz II ist der bekannte Carlemansche Satz über den Konvergenzexponenten der Fourier-Koeffizienten stetiger Funktionen, sowie auch dessen von Herrn T. H. Gronwall (On the Fourier coefficients of a continuous function. Amer. M. S. Bull.27 (1921), S. 320-321) und von mir (loc. cit. 2)) Siehe meine Arbeit: Ein Satz über trigonometrische Polynome mit Lücken und seine Anwendung in der Theorie der Fourier-Reihen. Journal für die reine und angew. Math.163 (1930), S. 251-252). gegebene Verschärfung enthalten. · JFM 48.0302.01
[3] Eingegangen am 19. 3. 1932.
[4] Hilfssatz I und demzufolge Hilfssatz III bleibt gültig, wenn die ? die allgemeinere Bedingung des hier bewiesenen Satzes erfüllen.
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