A remark on conjugate series. (English) JFM 58.0276.01

Zygmund, A.

Proceedings L. M. S. (2) 34, 392-400 (1932).

\(s_n\) bezeichne den \(n\)-ten Abschnitt der Fourierreihe von \(f,\overline s_n\) den der konjugierten Reihe.
Es wird bewiesen:
Ist \(f\) \(L\)-integrierbar und die konjugierte Reihe selbst eine Fourierreihe, so zeigen, wenn \(\overline f\) die konjugierte Funktion bezeichnet, die beiden Integrale \[ \int \limits _{0}^{2\pi }| f-s_n| dx, \quad \int \limits _{0}^{2\pi }| \overline f-\overline s_n| dx \] in bezung auf 0-Konvergenz, Beschränktheit oder Unbeschränktheit für \(n\to \infty \) gleiches Verhalten.
Wenn insbesondere auch \(f\overset {+} {\log }| f| \) \(L\)-integrierbar ist, so sind die Voraussetzungen erfüllt, und es streben beide Integrale mit \(n \to \infty \) gegen 0. (Vgl. Zygmund, 1929; Littlewood, 1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 751, 752. Tamarkin, 1932, vorstehendes Referat. )

Reviewer: Rogosinski, W., Prof. (Königsberg in Preußen)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.