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On lacunary trigonometric series. (English) JFM 58.0280.01

Es sei \[ \sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos n_k\vartheta +b_k\sin n_k\vartheta ) \quad \text{mit} \quad \frac {n_{k+1}}{n_k}>q>1 \] eine trigonometrische “Lücken”-Reihe. In Verallgemeinerung eines früheren Satzes [Fundam. Math. 16, 90–107 (1930; JFM 56.0252.01)] wird zunächst bewiesen:
Wenn die Partialsummen der Lückenreihe nach unten beschränkt sind, so konvergiert die Reihe \[ \sum_1^\infty (a_k^2+b_k^2). \] Dieser Satz wird auf trigonometrische Produkte \[ \prod_1^\infty (1+a_k\cos n_k\vartheta ) \quad \text{mit} \quad \frac {n_{k+1}}{n_k}>q>1 \] angewandt. Multipliziert man diese formal aus, so entsteht für \(q>3\) eine trigonometrische Lückenreihe. Für sie wird bewiesen:
Ist \(q>3\), \(| a_k| \le 1\) und \(\sum a_k^2\) divergent, so ist die zum Produkt gehörige Lückenreihe eine Fourier-Stieltjes Reihe einer stetigen, monoton wachsenden Funktion \(F\) mit fast überall verschwindender Ableitung. Ist überdies \(a_k\to 0\), so konvergiert die Reihe fast überall gegen 0.
Schließlich wird bewiesen:
Ist eine Lückelreihe Fourierreihe einer Funktion, welche in einer Menge positiven Maßes approximativ differenzierbar ist, so konvergiert die \(\sum \limits _{1}^{\infty }(a_k^2+b_k^2)n_k^2\).
Konvergiert eine Lückenreihe in einer Menge positiven Maßes gegen 0, so ist sie identisch 0.

MSC:

42A55 Lacunary series of trigonometric and other functions; Riesz products

Citations:

JFM 56.0252.01
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