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A remarkable series of orthogonal functions I,II. (English) JFM 58.0284.03
Verf. beschhäftigt sich mit der Entwicklung nach dem folgendermaßen definierten in \((0, 1)\) vollständigen normierten Orthogonalsystem \(\psi _0,\psi _1,\psi _2,\ldots \): Es ist \(\psi _0=1\), und für \[ n=2^{n_1}+2^{n_2}+\dots +2^{n_{\nu }} \quad (n>0) \] ist \[ \psi _n(t)=\Phi _{n_1}(t)\Phi _{n_2}(t)\dots \Phi _{n_{\nu }}(t), \] wenn \(\Phi _0,\Phi _1,\ldots \) die durch \[ \Phi _0(t)=\begin{cases} 1\quad (0\leqq t<\frac 12)\\ \vspace {10pt} -1 \quad (\frac 12\leqq t<1) \end{cases}, \quad \Phi _0(t+1)=\Phi (t), \Phi _n(t)=\Phi (2^ni) \qquad (n=1, 2,\ldots ) \] definierten Rademacherschen Funktionen sind. Verf. beweist einige Sätze, welche die bereits in früheren Untersuchungen (Walh,Kazmarz) hervorgetretene Analogie der Funktionen \(\psi _n\) zu den trigonometrischen Funktionen noch mehr ins Licht setzen. Aus dem ersten Teil der Arbeit seien die folgenden Resultate genannt: Sei \(c_n\) der \(n\)-te Fourierkoeffizient der zur Klasse \(L^k\) gehörigen Funktion \(f\) in Bezung auf die \(\psi _n,s_n\) die \(n\)-te Partialsumme von \(\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_n\psi _n(t),\quad f_n(t)=s_{2^{n+1}}-s_{2^n}\): dann gilt
1) \[ B_k\int \limits _{0}^{1}\left \{ \sum f_n^2(t)\right \} ^{\frac {1}{2}k}dt \leqq \int \limits _{0}^{1}| f(t)| ^kdt \leqq B_k'\int \limits _{0}^{1}\left \{ \sum f_n^2(t)\right \} ^{\frac {1}{2}k}dt \quad (1<k<\infty ) \] mit passenden nur von \(k\) abhängigen Konstanten \(B_k,B_k'\).
2) \[ \int \limits _0^1| s_n(t)| ^kdt\leqq B_k\int \limits _0^1| f(t)| ^kdt \qquad (1<k<\infty ). \] 3) Ist \(\lambda _n\) eine Folge wachsender Zahlen mit \(\dfrac {\lambda _{n+1}}{\lambda _n}\geqq q-1\), und ist \[ \delta _n(t)=s_{\lambda _n}(t)-s_{\lambda _{n-1}}(t), \] so gilt allgemeiner 1) auch dann, wenn \(f_n\) durch \(\delta _n\) ersetzt wird. \(B_k,B_k'\) hängen dann noch von \(q\) ab.
4) Für fast alle \(t\) aus \((0, 1)\) gilt \(s_{\lambda _n}(t)\to f(t)\).
Im zweiten Teil werden u. a. (z. T. ohne Beweis) folgende Resultate angegeben.
1) Mit \[ \tau _n^{(\eta )}= \frac {\sum \limits _{m=0}^{n-1}\left ( 1-\frac {m}{n}\right ) ^{\eta -1} | s_m(t)| } {\sum \limits _{m=0}^{n-1}\left ( 1-\frac {m}{n}\right ) ^{\eta -1}},\quad \sigma _n^{(\eta )}= \sum \limits _{m=0}^{n-1}\left ( 1-\frac {m}{n}\right ) ^{\eta }c_m\psi _m(t) \qquad (\eta >0) \] gilt für \(\delta >0\) \[ \begin{gathered} \left. \begin{gathered} \int \limits _0^1\underset {1\leqq n<\infty } {\sup } \{\tau _n^{\tfrac {1}{k+\delta }}(t)\} ^kdt\\ \int \limits _0^1 \underset {1\leqq n<\infty } {\sup } | \sigma _n^{(\delta )}(t)| ^kdt \end{gathered} \right \} \leqq B_{k,\delta }\int \limits _0^1 | f(t)| ^kdt \qquad (1<k<\infty ) \end{gathered} \] mit passender nur von \(k\) und \(\delta \) abhängigen Konstante \(B_{k,\delta }\).
2) Setzt man \[ s_n^{*}=\sum \limits _{m=0}^{n-1} \frac {c_m\psi _m(t)}{\log ^{\tfrac {1}{k}}(m+2)}, \] so ist \[ \int \limits _{0}^{1}| s_{n(t)}^{*}(t)| ^kdt \leqq B_k\int \limits _{0}^{1}| f(t)| ^kdt, \] worin \(n(t)\) eine beliebige mit \(t\) veränderliche ganze Zahl bedeutet und \(1<k\leqq 2\) gilt.
3) \(c_0,c_1,c_2,\ldots \) sei eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Die Folge \(| c_0|,| c_1|,\ldots \) nach absteigender Größe umgeordnet, werde mit \(c_0^{*},c_1^{*},\ldots \) bezeichnet. Ist dann \[ f(t)\sim \sum \limits _{n=0}^{\infty }c_n\psi _n(t), \quad F(t)\sim \sum \limits _{n=0}^{\infty }c_n^{*}\psi _n(t), \] so gilt \[ \int \limits _0^1f^qdt\leqq \int \limits _0^1F^qdt \qquad (q \quad \text{ganz, gerade}). \]

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