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Recherches sur la sommabilité des séries d’Hermite. (French) JFM 58.0286.02

Die Arbeit stellt eine systematische Untersuchung der Konvergenz, bzw. Summierbarkeit der Entwicklung \[ f(x)\sim \sum \limits _{n=0}^{\infty }\frac {H_n(x)}{2^n n!\sqrt {\pi }} \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\text{exp}(-u^2)\cdot H_n(u)f(u)du \] dar, wobei \(x\) nicht notwendig in einem endlichen Intervall zu liegen braucht. (Auf diesen Fall hatten sich die bisherigen Arbeiten meistens beschränkt. ) Zuweilen werden auch die entsprechenden Entwicklungen nach Laguerreschen Polinomen herangezogen. Im ersten Paragraphen werden Abschätzungen gewonnen. Besonders zeigt Verf. die Richtigkeit der Ungleichung \[ L_n^{(\alpha )}(x)=O\left ( \dfrac {\exp \left ( \dfrac {x}{2}\right ) }{\sqrt x} \left (\frac {n}{x}\right ) ^{\tfrac {\alpha }{2}-\tfrac {1}{4}}\right ), \] die für beschränkte \(x\) bekannt ist, für \(| x| \leqq k^2n\). Dabei wird eine neue Integralbeziehung \[ L_n^{(\alpha )}(x)=\frac {\varGamma (n+\alpha +1)}{\varGamma (n+\beta +1)} \frac {x^{-\alpha }}{\varGamma (\alpha -\beta )} \int \limits _{0}^{x}(x-u)^{\alpha -\beta -1}u^{\beta }L_n^{(\beta )}(u)du \] benutzt. \(\S 2\) beshäftig sich mit der Eulerschen Summierung der Entwicklung von \(f(x)\). Zur Bestimmung des Verhaltens der Eulerschen Mittel betrachtet Verf. die entsprechenden Bildungen bei der formalen Entwicklung der Null nach den \(H_n(x)\): \[ 0\sim \sum \limits _{n=0}^{\infty }\frac {H_n(x)H_n(u)}{2^nn!\sqrt {\pi }} \qquad (x\neq u) \] und gelangt zu dem Ergebnis, daßdie Reihe für \(f(x) \quad (E,\delta )\)- summabel mit
\(\delta \geqq \dfrac {\log \left (\frac {1}{3-4q}\right ) }{\log 2}\) ist, wenn sie für beschränkte \(x\) konvergiert und das Verhalten von \(f(x)\) für unendlich werdendes \(x\) durch die Forderungen \[ \int \limits _{-\infty }^{-a}\exp (-qu^2)| f(u)| \frac {du}{| u| }<G; \quad \int \limits _{a}^{\infty }\exp (-qu^2)| f(u)| \frac {du}{u}<G \qquad \left ( q<\frac 34\right ) \] bestimmt ist. Die Eulersche Summierung gestattet also sozusagen, das unendlich werdende \(x\) zu erfassen.
Zur Untersuchung der Summation durch arithmetische Mittel betrachtet Verf. zunächst die arithmetischen Mittel \(S_n^{(\delta )}(x,u)\) der obigen Entwicklung der Null, die \((C,\delta )\)-summabel mit positivem \(\delta \) ist. Die Lebesgueschen Majoranten \[ \varrho _n^{(\delta )}(x)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty } e^{-u^2}| S_n^{(\delta )}(x,u)| du \] sind beschränkt, wenn \(\delta \) positiv ist; sie wachsen mit dem Logarithmus von \(n\) im Fall \(\delta =0\). Im nächsten Paragraphen wird gezeigt, daß\^^Mdie Reihe für eine \(L\)-integrable Funktion \(f(x) \quad (C,\delta )\)-summabel mit der Summe \(\dfrac 12(f(x+0)+f(x-0))\) ist, vorausgesetzt, daßdie beiden Integrale \[ \int \limits _{-\infty }^{-a}\exp \left ( -\frac {x^2}{2}\right ) | f(x)| \cdot | x| ^{-(2\delta +1)}dx \quad \text{und} \quad \int \limits _{a}^{\infty }\exp \left ( -\frac {x^2}{2}\right ) | f(x)| \cdot | x| ^{-(2\delta +1)}dx \] für jedes endliche feste \(a\) existieren. (Diese Bedingung ist hinreichend. ) Ferner wird eine Bedingung dafür angegeben, daßdie in Rede strehende Reihe durch den gemischten Prozeß\((E,k) \quad (C,\delta )\) summiert werden kann.
Weiterhin zeigt Verf. das Bestehen des Gibbsschen Phänomens. Die Länge \(l(\delta )\) des stets vorhandenen Gibbsschen Segments nimmt bei wachsendem \(\delta \) gegen 0 ab. Eine andere Anwendung der Mittel bildet der Beweis des Parsevalschen Satzes \[ \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\exp (-u^2)f(u)g(u)du =\sum \limits _{n=0}^{\infty }f_ng_n, \] wobei \(f_n,g_n\) die Koeffizienten der Entwicklung von \(f(x)\) bzw. \(g(x)\) nach den \(H_n(x)\) sind, unter der einzigen Veraussetzung, daßdie Integrale \[ \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f^2(x)\exp (-x^2)dx \quad \text{und} \quad \int \limits _{-\infty }^{+\infty }g^2(x)\exp (-x^2)dx \] existieren.
Im letzten Paragraphen behandelt Verf. die \((C,\delta )\)-Summierbarkeit der Laguerreschen Reihen im Punkte \(x=0\). Die Reihe \[ f(x)\sim \sum \limits _{n=0}^{\infty } \frac {\varGamma (n+1)}{\varGamma (n+\alpha +1)} L_n^{(\alpha )}(x)\int \limits _{0}^{\infty } \exp (-u^2)u^{\alpha }f(u)L_n^{(\alpha )}(u)du \] ist \((C,\delta )\)-summabel, wenn \(\delta >\alpha +\beta +\dfrac 12\) und \(f(x)=O\left [x^{\beta }\exp \left ( \dfrac {x}{2}\right ) \right ] \). (Szegö hat dies früher (1926; F. d. M. 52, 280 (JFM 52.0280.*)) unter der Voraussetzung \(f(x)=O[x^{O_(1)}]\) bewiesen. )
Den Abschlußbildet neben einem ausführlichen Literaturverzeichnis eine Zusammenstellung noch ungelöster Probleme, die z. T. den Borelschen Summationsprozeßbetreffen. z. T. auch auf den NAchweis zielen, daß\^^Mgewisse Bedingungen, die in den abgeleiteten Sätzen auftreten, nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig sind usw.

Citations:

JFM 52.0280.*
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