Sur la théorie riemannienne de certains systèmes orthogonaux. II. (French) JFM 58.0289.01

Zygmund, A.

Prace Mat.-Fiz. 39, 73-117 (1932).

In Fortsetzung der Untersuchungen des ersten Teiles dieser Abhandlung und mit den Bezeichnungen des diesbezüglichen Referates (1930; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 945) handeldt es sich jetzt um Entwicklungen nach Besselschen Funktionen und Jacobischen Polynomen. Wir nennen hier für die ersteren die Hauptergebnisse. Behandelt werden die Besselschen Reihen \[ a_0C_0(x)+\sum \limits _{k=1}^{\infty }a_kJ_{\nu }(\lambda _kx) \] und ihre konjugierten Reihen \[ \sum \limits _{k=1}^{\infty }a_kY_{\nu }(\lambda _kx),\quad Y_{\nu }(x)=\frac {J_{\nu }(x)\cos \nu \pi -J_{\nu }(x)}{\sin \nu \pi }. \] Hier ist \(J_{\nu }(x)\) die Besselsche Funktion erster Art von der Ordnung \(\nu \), und \(\lambda _1<\lambda _2<\cdots \) sind die positiven Nullstellen von \[ zJ_{\nu }'(z)+HJ_{\nu }(z) \qquad (H=\text{const}) \] \(C_0(x)\) ist so bestimmt, daßdas System \(\sqrt xC_0(x), \sqrt xJ_{\nu }(x)\) in \((0, 1)\) orthogonal und vollständig wird. Für \(H+\nu >0\) ist übrigens \(C_0(x)\equiv 0\).
Endlich wird die Voraussetzung \(a_k=o(\sqrt k)\) gemacht, die der üblichen Voraussetzung \(a_k=o(1)\) bei tigonometrischen Reihen entspricht.
Es wird nun wieder bewiesen, daßfür \(\nu \geqq -\dfrac 12\) die drei Eindeutigkeitsmengen \(U_M,U_{M}',U_{M}''\) für trigonometrische Reihen die gleiche Eigenschaft für die Besselschen Reihen haben. Im Falle \(-\frac 12 >\nu >-1\) maßman aber \(a_k=o(k^{\nu +1})\) voraussetzen. Für die konjugierte Reihe wird u. a. gezeigt: Ist \(0<\alpha <\beta <1\) und die Besselsche Reihe in \((\alpha,\beta )\) gegen 0 konvergiert, so konvergiert die konjugierte Reihe gleichmäßig in jedem Intervall \((\alpha +\varepsilon,\beta -\varepsilon ),\varepsilon >0\).
Der schlußder Arbeit beschäftigt sich mit den Äquikonvergenzfragen bei Entwicklungen nach dem (im Referat zu I genannten) Eigenfunktionen \(v_n(z)\). Dabei wird der folgende bemerkenswerte Satz benutzt:
Konvergieren zwei trigonometrische Reihen mit Koeffizienten \(O(\dfrac {1}{n})\) bzw. \(o(\dfrac {1}{n})\) gegen die Summen \(s\) bzw. \(\sigma \), so konvergiert ihr formelles Produkt gegen \(s\cdot \sigma \).

Reviewer: Rogosinski, W., Prof. (Königsberg in Preußen)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.