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Über die Schrödersche Funktionalgleichung und das Schwarzsche Eckenabbildungsproblem. (German) JFM 58.0327.02
Berichte Leipzig 85, 291-324 (1932).
Es sei \[ w = f(z) = \alpha z + a_2z^2 + \dots \] in \(z = 0\) regulär, und es sei \(|\alpha | =1\), aber \(\alpha \) sei keine Einheitswurzel. Dann ist \(z=0\) ein Zentrum, wenn die Abbildung, die eine Umgebung des Nullpunktes durch \(f(z)\) erfährt, durch eine daselbst reguläre Funktion \[ \mathfrak z = S(z) = z+ c_2z^2 + \dots \,. \] gleichzeitig angewendet auf \(z\) und \(w\), in eine Drehung verwendelt werden kann: \[ S(f(z)) = \alpha S(z). \]
Nach einer ausführlichen Darlegung des Problemkreises (vgl. dazu Verf. 1925, 1927; F. d. M. 51, 262 (JFM 51.0262.*), 53, 303) beweist Verf. eine Reihe von Sätzen, die die Nichtexistenz eines Zentrums behaupten, wenn neben anderen Bedingungen die besteht, daß sich Potenzen von \(\alpha \) hinreichend stark gegen 1 häufen, d. h. wenn \[ \liminf _{n \to \infty } \root k(n) \of {|\alpha ^n -1|} = 0 \quad \text{oder auch nur} \quad <1 (*) \] ist, wo \(k(n)\) eine von Fall zu Fall verschiedene wachsende Funktion von \(n\) ist. Die Existenz eines Zentrums erlaubt nämlich, vermöge der Tatsache, daß entsprechende Werte von \(z\) und der \(n\)-ten Iterierten von \(f(z) = f_1 (z)\): \[ w_n = f_n (z) = f(f_{n-1} (z)) = S^{-1} (\alpha ^n S(z)) \] durch dieselbe schlichte Abbildung \(S^{-1}\) zweiter um \(\alpha ^n\) gedrehter Punkte der \(\mathfrak z\)-Ebene auseinander hervorgehen, eine Abschätzung von \(f_n (z)\) in der Umgebung des Nullpunktes, und damit seiner Koeffizienten, in die eben \(|\alpha ^n - 1|\) eingeht; eine geeignete Teilfolge von \(f_n(z)\) hat also Koeffizienten von einer Kleinheit, die von \(k(n)\) abhängt. Daraus folgt, daß eine Teilfolge der Iterierten einer ganzen Funktion \(f(z)\), wenn noch hinsichtlich ihres Wachstums eine Einschränkung getroffen und \(k(n)\) dieser entsprechend gewählt wird, in der ganzen Ebene gegen die Identität konvergiert, was nur bei linearen \(f(z)\) möglich ist. Da zu beliebigen \(k(n)\) kontinuierlich viele \(\alpha \) existieren, die der Forderung (*) genügen (vgl. Verf. 1927, loc. cit.) so gibt es kontinuierlich viele ganze Funktionen \(f(z)\) mit \(f(0) = 0\), die in \(z=0\) kein Zentrum haben. - Ist \(f(z)\) eine Lückenreihe, so kommt man zu einem Widerspruch, wenn immer wieder so große Lücken auftreten, daß die bis zu deren Anfang erstreckte Reihe bei einer gewissen Anzahl von Iterationen “zur freien Entwicklung gelangt”, d. h. für sich allein iteriert denselben anfang ergibt, wie die ganze Potenzreihe. Gewisse Koeffizienten dieser Iterierten können dann nicht so klein ausfallen wie obige Abschätzung erfordern würde. - Diese wird übrigens noch auf einem anderen Wege gewonnen, bei dem eine einfache Eigenschaft des algebraischen Ausdruckes der Koeffizienten der Iterierten in \(\alpha \) herangezogen wird. In dem ersten Resultat ist eine Verschärfung der Spezialisierung auf Polynome eines früheren Resultates enthalten, das sich auf rationale Funktionen bezieht (1927; loc. cit.), und die Resultate über Lückenreihen verschärfen ebenfalls ältere des Verf. (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 282).
Ferner werden einige für die Iterationstheorie bedeutungsvolle Sätze bewiesen, n\"mlich weitere notwendige Bedingungen für die Existenz einer nichtkonstanten Grenzfunktion; dafür ist, wenn man von einer ganzen Funktion ausgeht, notwendig, daß eine der Iterierten ein Zentrum besitzt, und Ähnliches gilt bei rationalen Funktionen.
Zuletzt wird noch auf die Bezizehung zum Schwarzschen Eckenabbildungsproblem eingegangen. Haben am Rande eines Bereiches zwei analytische Kurvebogen teil, die sich unter einem gewissen Winkel schneiden, und werden diese durch eine in der Umgebung des Schnittpunktes reguläre analytische Abbildung so aufeinander bezogen, daß der Schnittpunkt sich selbst entspricht, so ist die Frage, ob man durch eine geeignete konforme Abbildung jenes Bereiches diese Beziehung in eine lineare verwandeln kann. Dies ist, wie aus der allgemeinen Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten bekannt ist (Koebe, 1927; F. d. M. 53, 320 (JFM 53.0320.*)) stets der Fall, aber die Transformationsfunktion braucht in der Ecke nicht regulär, nicht einmal von algebraischem Charakter zu sein. Sie ist es dann und nur dann, wenn die die Abbildung der beiden Bogen aufeinander vermittelnde Funktion \(f(z)\) dort ein Zentrum besitzt. (IV 5.)

Subjects:
Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.