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Asymptotische Abschätzungen der Argumentvariation einer Funktion, die die Werte 0 und 1 nicht annimmt. (German) JFM 58.0334.01
Die Sätze von Picard und Schottky, die den Verlauf analytischer Funktionen umgrenzen, welche gewisse Werte auslassen, finden hier in spezieller Richtung eine Verschärfung. Wird die Abbildung des Dreieckes \(0 < \arg \left ( z- \frac {1}{2} \right ) < \pi \), \(\left | z - \frac {1}{2} \right | > \frac {1}{2}\), \(0 < \mathfrak R (z) < 1\) unter Erhaltung der Ecken \(0,1, \infty \) durch die analytische Funktion \(\lambda (z)\) nach \(0 < \arg (\lambda ) < \pi \) bewirkt und wie üblich deren Umkehrung \(\omega (z)\) eingeführt, so handelt es sich darum, die Argumentschwankung abzuschätzen für Funktionen \(p(z)\), die im Einheitskreis regulär bleiben, 0 und 1 aber auslassen. Setzt man \(p(0) = \alpha \), und für \(|z| \leq r < 1\) \(\overline {\lim } | \arg p(z) - \alpha | = \Phi (\alpha.r)\), so gilt nämlich \[ \left | \Phi (\alpha. r) - \frac {2 \pi r}{1-r^2} \max \left \{ \mathfrak J \omega (\alpha ), \mathfrak J \frac {-1}{\omega (\alpha )} \right \} \right | < \frac {7 \pi }{2}. (*) \] Zum Nachweis von (*) ist die Fläche von Kreisbogendreiecken der Modulfigur abzuschätzen. Dazu wird für berührende Kreise eine gegen Spiegelungen invariante Maßzahl eingeführt, das “Berührungsmaß”, welches die Öffnung der oben erwähnten Dreiecksspitzen durch ganze Zahlen mißt. Dieses gestattet, für Punktepaare \(c, c'\) der oberen Halbebene \(| \arg \lambda (c) - \arg \lambda (c')|\) hinreichend scharf zu schätzen und führt in übersichtlicher Weise zum Ergebnis (*).
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