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Sur les fonctions de plusieurs variables complexes. L’itération des transformations intérieurs d’un domaine borné. (French) JFM 58.0349.02
Verf. überträgt einen Teil der von Carathéodory in der vorstehend besprochenen Arbeit entwickelten Theorie über Folgen von analytischen Abbildung schlichter Bereiche auf nichtschlichte Bereiche. Er gewinnt hierbei folgende Resultante über iterierte Abbildungen:
Sei \(S\) eine analytische Transformation, die einen Bereich \(D\) (nicht notwendig schlicht) in sein Inneres abbildet.
a) Konvergiert die Folge \(S^{\lambda _1}, \dots. S^{\lambda _n}, \dots \) \((\lambda _n >0\), beschränkt oder nicht) gleichmäßig in \(D\) gegen eine ein-eindeutige Transformation \(T\) von \(D\) in sich, so bildet auch \(S\) den Bereich \(D\) ein-eindeutig in sich ab.
b) Ist \(D\) beschränkt, und konvergiert die Folge \[ S^{p_1}, S^{p_2}, \dots. S^{p_n}, \dots \quad (p_1 < p_2 < \dots < p_n \dots ) \] gleichmäßig in \(D\) gegen eine nicht ausgeartete Transformation \(T\), so konvergiert \(S^{p_{n+1}-p_n}\) gleichmäßig in \(D\) gegen die identische Abbildung. Insbesondere sind (wegen a) \(S\) und \(T\) eineindeutige Abbildungen von \(D\) in sich.
Hieraus ergeben sich mehrfache Anwendungen.

Subjects:
Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.
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