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Über das Randverhalten der Ableitung der Abbildungsfunktion bei konformer Abbildung. (German) JFM 58.0359.01

Die Funktion \(z = \varphi (w)\) bilde das von einer geslossenen Jordankurve \(C\) begrebzte Gebiet \(G\) schlicht auf \(|z|<1\) ab. Es habe \(C\) im Punkte \(P(w=w_1)\) eine Ecke der Öffnung \(\pi \tau \) \((0 < \tau \leq 2)\). Verf. untersucht das Verhalten des (allseitig genommenen) “Differenzenquotienten” \[ \frac {\varphi (w) - \varphi (w_1)}{(w-w_1)^{\frac {1}{\tau }}} \,. (*) \] Systematische Verwendung findet der Begriff der “Unbewalltheitsfunktion” \(\Delta (\varepsilon )\) von \(C\) in \(P\). Es sei \(k_{\varepsilon }\) ein Kreis mit Radius \(\varepsilon \) um \(P\), \(P_1\) und \(P_2\) seien die beiden letzten Schnittpunkte von \(k_{\varepsilon }\) mit \(C\), die man bei Durchlaufung von \(C\) von \(P\) aus nach beiden Seiten antrifft. \(\Delta (\varepsilon )\) ist dann der Radius der kleinsten abgeschlossenen Kreisscheibe um \(P\), die die beiden Bögen \(\widehat {PP_1}\) und \(\widehat {PP_2}\) enthält. Es stellt sich heraus, daß notwendig dafür, daß \((*)\) zwischen zwei positiven Schranken bleibt bzw. einem Grenzwert zustrebt, ist, daß \(\Delta (\varepsilon ) = O (\varepsilon )\) bzw. \(\lim \limits _{\varepsilon \to 0} \frac {\Delta (\varepsilon )}{\varepsilon } =1\) gilt. Unter der Annahme \(\Delta (\varepsilon ) = O (\varepsilon )\) leitet Verf. Ungleichungen her, die die längs \(C\) genommenen Differenzquotienten verknüpfen mit den in einem festen Winkelraum genommenen. Daraus ergibt sich: Hat \((*)\) einen Grenzwert, wenn \(w \to w_1\) längs einer in \(w_1\) mündenden Kurve \(L\), die \(C\) nicht berührt, so ist notwendig und hinreichend dafür, daß \((*)\) bei allseitiger Annäherung \(w \to w_1\) einen Grenzwert besitzt, daß \(\frac {\Delta (\varepsilon )}{\varepsilon } \to 1\). Um nun das Verhalten von \((*)\) auf solchen Kurven \(L\) zu studieren, vergleicht Verf., unter Verwendung einer gewissen ”Monotonierelation”, das Gebiet \(G\) mit anderen Gebieten, welche auch \(P\) als Randpunkt haben und eine einfachere Randstruktur aufweisen. Die Bedingung \(\Delta (\varepsilon ) = O (\varepsilon )\) erweist sich als äquivalent mit der Existenz eines sogenannten “metrischen Parameters” auf \(C\), d.h. eines Parameters \(t\) derart, daß, wenn \(P= w(0)\), \(\left | \frac {w(t) - w(0)}{t} \right |\) zwischen zwei positiven Schranken bleibt. Die Bedingung \(\frac {\Delta (\varepsilon )}{\varepsilon } \to 1\) ist damit äquivalent, daß es einen Parameter \(t\) gibt, für den \(\lim \limits _{t \to 0} \left | \frac {w(t) - w(0)}{t} \right |\) existiert und positiv ist. Es sei nun \(t\) ein metrischer Parameter; es seien \(\gamma _-\) und \(\gamma _+\) die beiden Kurvenäste von \(C\), welche die Ecke \(\pi \tau \) in \(P\) bilden; \(t_-\) und \(t_+\) seien die Halbtangenten an \(\gamma _-\) und \(\gamma _+\). Es sei \(\xi (t)\) der Abstand von \(w(t)\) auf \(\gamma _-\) bzw. \(\gamma _+\) von \(t_-\) bzw. \(t_+\), und es werde \(\xi ^*(t) = \max \xi (\sigma )\) (\(t \leq \sigma < 0\) bzw. \(0 < \sigma t\)) gesetzt. Verf. beweist: Ist \[ \int _0^{\omega } \frac {\xi ^*(t)}{t^2} dt \quad (\omega \gtrless 0) \] konvergent, so liegt der Absolutwert von \((*)\) zwischen zwei positiven Schranken. Ist darüber hinaus \(C\) in \(P\) “regulär unbewallt” \(\left ( \text{d.h.} \; \frac {\Delta (\varepsilon )}{\varepsilon } \to 1 \right )\), dann hat \((*)\) einen von 0 und \(\infty \) verschiedenen Grenzwert.
Durch Anwendung dieses Hauptsatzes beweist Verf. eine Reihe von weiteren Sätzen über die Abbildung von Gebieten mit rektifizierbarem Rand und von solchen, bei welchen die Randkurve eine stetige Tangente besitzt, deren Drehung durch eine Lipschitz-Bedingung charakterisiert wird.
In einem Anhang werden schließlich bekannte Sätze von Carathéodory und Valiron über die sogenannte Winkelderivierte verallgemeinert.

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