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Untersuchungen über schlichte Abbildungen. (German) JFM 58.0363.01
Die Untersuchungen beziehen sich auf drei Klassen im Einheitskreise regulärer Funktionen \(f(z)\), nämlich a) auf die schlichten, b) auf die schlicten und strenförmigen und c) auf die schlichten und konvexen. In allen drei Fällen wird insbesondere die Bildung \(u(z) = \frac {z}{f(z)}\) ins Auge gefalßt, und für b) und c) wird der genaue Wertevorrat \(\mathfrak G_{\mathfrak S t}(r)\) bzw. \(\mathfrak G_{\mathfrak K} (r)\) der Gesamheit dieser \(u(z)\) in \(|z|<r<1\) ermittelt, während im Falle a) nur eine ungenaue Einschränkung desselben - hier \(\mathfrak G_{\mathfrak S}(r)\) genannt - gelingt, die Verf. schon an anderer Stelle mitgeteilt hatte (1929; JFM 55.0210.*). Nur für \(r=1\) ist wieder eine genaue Aussage möglich.
Weiter wird gezeigt: Die Kenntnis der genauen Bildschranken von \(\frac {z}{f(z)}\) in einem festen \(z\) für die Gesamtheit der \(f(z)\) aus a) zieht die Kenntnis der genauen Schranken für \(\frac {z f' (z)}{f(z)}\) nach sich, und umgekehrt. Dieser Satz erlaubt, die Abschätzung von \(\mathfrak G_{\mathfrak S}(r)\) auf Grund des bekannten Sternigkeitskriteriums \(\left ( \mathfrak K \frac {z f' (z)}{f(z)} > 0 \right )\) zu einer unteren Abschätzung der Strenschranke \(R_s\) der Funktionen aus a) zu benutzen. Eine von der unteren nur doch wenig abweichende obere Abschätzung von \(R_s\) wird nach einer Mitteilung von Szegö gewonnen, indem von gewissen speziellen Funktionen mittels des genannten Kriteriums gezeigt wird, daß sie für ein gewisses \(r\) in \(|z| \leq r\) jedenfalls nicht mehr sternig sind.
Es folgen noch einige Anwendungen der Kenntnis von \(\mathfrak G_{\mathfrak S t} (r)\) und \(\mathfrak G_{\mathfrak K} (r)\).

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References:
[1] Vgl. L. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. II, zweite Auflage (Leipzig u. Berlin 1931), S. 71-83. Dieses Buch wird im folgenden kurz ?B.? zitiert.
[2] Vgl. B., Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. II, zweite Auflage (Leipzig u. Berlin 1931), S. 78.
[3] Vgl. G. P?lya und G. Szeg?, Aufgaben und Lehrs?tze aus der Analysis, Bd. II, (Berlin 1925), Abschnitt IV, Aufgabe 145, S. 25, 26, 200.
[4] A. Marx, Zwei S?tze ?ber schlichte Funktionen (Sitzungsber. d. Pr. Ak. d. Wiss., Phys.-Math. Klasse 1929, S. 96-100), hier kurz mit ?M.? zitier
[5] Vgl. B., Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. II, zweite Auflage (Leipzig u. Berlin 1931), S. 82-83.
[6] R. Nevanlinna, ?ber die schlichten Abbildungen des Einheitskreises (Oev. av Finska Vetensk.-Soc. F?rh. 1919-1920, Avd. A, No. 7).
[7] M., S. 97.
[8] Vgl. M., S. 97. Dort findet sich nur die schw?chere Ungleichung ??R S .
[9] Ohne Beweis in einer etwas anderen Formulierung mitgeteilt M., S. 100 (Fu?note2) Vgl. B., Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. II, zweite Auflage (Leipzig u. Berlin 1931), S. 78.
[10] Vgl. W. Rogosinski, ?ber Bildschranken bei Potenzreihen und ihren Abschnitten (Math. Zeitschr.17 (1923), S. 260-76), Satz II. · JFM 49.0231.03 · doi:10.1007/BF01504347
[11] In der eben zitierten Arbeit, Satz IV.
[12] Dasselbe gilt dann nat?rlich auch f?r die ungerade FunktionF(z 2):z.
[13] L. Bieberbach, Aufstellung und Beweis des Drehungssatzes f?r schlichte konforme Abbildungen (Math. Zeitschr.4 (1919), S. 295-305). ? Vgl. auch die neuere Bemerkung von M. K?ssler, Eine Versch?rfung des Drehungssatzes von L. Bieberbach (Jahresbericht der Deutschen Math.-Ver.41 (1931), S. 80-82). · JFM 47.0327.01 · doi:10.1007/BF01203017
[14] L. Bieberbach, Neuere Forschungen im Gebiet der konformen Abbildung (Glasnik hrv. prirod. drustva g. XXXIII g. 1921, S. 18). · JFM 48.0403.13
[15] A. a. O. Fu?note12) Satz II. · JFM 49.0231.03 · doi:10.1007/BF01504347
[16] Vgl. M., S. 98, 99.
[17] G. Faber, Neuer Beweis eines Koebe-Bieberbachschen Satzes ?ber konforme Abbildung (M?nchner Ber. (1917), S. 39-42).
[18] B., S. 72, 73.
[19] R. Nevanlinna, ?ber die konforme Abbildung von Sterngebieten (Oev. av Finska Vetensk.?Soc. F?rh. 1920-21, Avd. A, No. 6).
[20] Vgl. M., S. 99.
[21] R. Nevanlinna, a. a. O., Fu?note,24) R. Nevanlinna, ?ber die konforme Abbildung von Sterngebieten (Oev. av Finska Vetensk.?Soc. F?rh. 1920-21, Avd. A, No. 6).
[22] u r (?) durchl?uft bei festemr, 0??<2? eine konvexe Jordankurve, die innerhalb eines in bezug auf die reelle Achse symmetrischen Streifens der Breite 2 ? symmetrisch zur reellen Achse verl?uft.
[23] Vgl. W. Rogosinski? a. a. O., Fu?note12), Satz II. · JFM 49.0231.03 · doi:10.1007/BF01504347
[24] Fu?note12) ; Satz II. · JFM 49.0231.03 · doi:10.1007/BF01504347
[25] Bzw. eine sinngem??e ?bertragung dieses Satzes auf ?hnliche Funktionentypen.
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