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Lehrbuch der Funktionentheorie. Bd. II, 2. Teil. X S. + S. 309-686. (German) JFM 58.0390.04

Leipzig, B. G. Teubner (Lehrbücher der mathematischen Wissenschaften 20, Bd. II, Teil 2) (1932).
Nach dem im ersten Abschnitt des zweiten Bandes die allgemeinen Grundlagen einer Funktionentheorie mehrerer Veränderlichen aufgestellt sind (1924; F. d. M. 50, 209 (JFM 50.0209.*)), beschränkt sich Verf. in den ersten drei Kapiteln des hier zu besprechenden zweiten Abschnittes wieder auf die Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Es wird die Theorie der algebraischen Funktionen unter gleichzeitiger Verwendung von funktionentheoretischen wie algebraisch-geometrischen Methoden behandelt, so daß ein algebraisches Gebilde zugleich als Riemannsche Fläche wie auch als algebraische Kurve auftritt.
Im ersten Kapitel der vorliegenden Lieferung (Kap. 4 des zweiten Teiles) werden zunächst die bekannten topologischen Betrachtungen zu den Riemannschen Flächen der algebraischen Funktionen angestellt und dann die Abelschen Integrale eingeführt. Ist \(G(w,z)=0\) eine algebraische Kurve mit nur gewöhnlichen Singularitäten (kanonisches Gebilde mit \(d\) Doppelpunkten), so werden \(p=\frac {(m-1)(m-2)}2 -d\) linear unabhängige Integrale erster Gattung explizit aufgestellt. \(p\) wird dann als Geschlecht der Riemannschen Fläche erkannt und darauf wird aus der Periodengleichung gefolgert, daß es nicht mehr als \(p\) solcher Integrale geben kann. Daneben werden in diesem Kapitel die Integrale zweiter und dritter Gattung auf kanonischen Gebilden betrachtet.
Kap. 5 beginnt mit einem Existenznachweis für logarithmische Potentiale auf beliebigen, algebraischen Riemannschen Flächen. Es folgen die Aufstellung der Integrale der dritten Gattungen, die Einführung der Grenzkreisuniformisierenden, die Primfunktionen, das Abelsche Theorem, die absoluten Invarianten der Automorphismengruppe, die Noethersche Normalkurve und die bilinearen Relationen.
Kap. 6 über die algebraischen Funktionen handelt vom Abelschen Satz, dem Riemann-Rochschen Satz, der algebraischen Aufstellung eindeutigen Funktionen mit vorgegebenen Polen auf dem Gebilde und der Uniformisierung im großen vermöge der Primfunktionen.
In Kap. 7 werden die mehrfach periodischen Funktionen von \(n\) komplexen Veränderlichen untersucht. Es beginnt mit der Reduktion der Perioden, falls unter ihnen unendlich kleine auftreten, es folgt die Normierung der Perioden, die Einführung der Thetafunktionen, die \(p\)-fachen Thetareihen, ihre Charakterisierung durch die Funktionalgleichungen, der Zusammenhang mit den Jacobischen Funktionen und (im Schlußkapitel) der Riemann-Weierstraßsche Thetasatz.
Als Anwendungen der vorher aufgebauten Theorien werden schließlich noch angeschloßen die Behandlung des Korrespondenzprinzipes für algebraische Kurven mit Hilfe der uniformisierenden automorphen Funktionen, die Sätze über das Verschwinden der Thetafunktionen (insbesondere das identische Verschwinden mit Abelschen Integralen als Argumenten) und schließlich das Jacobische Umkehrproblem.
Damit ist das umfangreiche, beinahe 1500 Seiten starke Werk abgeschlossen, nachdem vor über 25 Jahren die erste Auflage des ersten Bandes erschien. Wer funktionentheoretisch arbeitet, wird immer wieder sich in dieser ausführlichen Darstellung Rat über manches holen, dessen Kenntnis er bedarf, und das nirgends anderswo zu finden ist. In diesem Sinne kann die Leistung des Verf. nicht hoch genug gewertet werden. Ob allerdings viele dieses Werk als ihr Lehrbuch der Funktionentheorie mehrerer Veränderlichen oder der Theorie der algebraischen Funktionen erwählen werden, erscheint bei der Breite der Darstellung und der Schwierigkeit, eine Übersicht zu gewinnen, nicht sicher.

Citations:

JFM 50.0209.*