Théorie des opérations linéaires. (French) JFM 58.0420.01

Banach, S.

Monografie Matematyczne 1. Warszawa: Seminarium Matematyczne Uniwersytetu Warszawskiego; Warszawa: Instytut Matematyczny PAN. viii, 252 p. (1932).

Für viele Zweige der modernen Analysis, wie die Theorie der reellen Funktionen, die Theorie der Integralgleichungen, die Variationsrechnung u.a., ist ein Eindringen in die tieferen Zusammenhänge nur möglich mit Hilfe der Theorie der Operationen, insbesondere der linearen Operationen. Aus diesem Grunde hat sich der Verf. die Aufgabe gestellt, die wichtigsten Ergebnisse zusammenzufassen, die sich auf lineare Operationen in allgemeinen Räumen beziehen, vor allem in den Räumen von Typus (B) (S. Banach [Fundam. Math. 3, 133–181 (1922; JFM 48.0201.01)]), unter denen man den Raum der stetigen Funktionen, den Raum der zur \(p\)-ten Potenz summierbaren Funktionen, denHilbertschen Raum usw. findet. Es ist ein Buch entstanden, das an begrifflicher Klarheit kaum zu überbieten ist, und das zugleich einen umfassenden Überblick des vielgestaltigen Anwendungsbereichs dieser jungen mathematischen Disziplin vermittelt. Von den gewonnenen allgemeinen Sätzen werden Anwendungen besprochen auf Integrations- und Konvergenztheorie, Differential- und Integralgleichungen, Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Summationsmethoden, Orthogonalreihen u.a. Scheinbar weit auseinander liegende Gegenstände werden dabei in Zusammenhang gebracht; so werden z. B. durch den Erweiterungssatz für additive Funktionale gleichzeitig das allgemeine Maßproblem, das Momentenproblem und die Existenzfrage bei der Auflösung eines Systems linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten erledigt.
Die Kapitelüberschriften sind: Lebesgue-Stieltjes-Integral. \((B)\)-meßbare Mengen und Operationen in metrischen Räumen. Gruppen, Allgemeine lineare Räume. Räume vom Typus \((F)\). Normierte lineare Räume, Räume vom Typus \((B)\). Totalstetige und assoziierte Operationen. Biorthogonale Folgen. Lineare Funktionale in Räumen \((B)\). Schwach konvergente Elementenfolgen. Lineare Funktionalgleichungen. Isometrie, Äquivalenz, Isomorphie. Lineare Dimension. Anhang: Schwache Konvergenz in Räumen \((B)\).
Viele Sätze (vom Verf. und andern) sind ganz neu und hier zum erstenmal veröffentlicht; dies gilt insbesondere von den letzten beiden Kapiteln und dem Anhang. Die am Schluß zusammengestellten Bemerkungen bieten in stofflicher und in bibliographischer Hinsicht eine wertvolle Ergänzung zu den einzelnen Kapiteln. Auch ein Sach- und ein Namenverzeichnis fehlen nicht.

Reviewer: Aumann, G., Prof. (Frankfurt am Main)

MSC:

46-02

Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functional analysis

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 7. Integralgleichungen. Funktionen von unendlich vielen Veränderlichen. Funktionalanalysis.

Citations:

JFM 48.0201.01