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Über einen Satz von Herrn M. H. Stone. (German) JFM 58.0423.03

Von M. H. Stone (1930; JFM 56.0357.*) stammt der Satz:
(S) Sei \(U_t\) eine Schar unitärer Operatoren des Hilbertschen Raumes mit der Gruppeneigenschaft \[ U_t U_s =U_{t+s}. \] Dann existiert eine Zerlegung der Einheit \(E(\lambda )\), so daß symbolisch \[ U_t = \int _{-\infty }^{+\infty } e^{it\lambda } \,dE(\lambda ) \] gilt. - Dabei wird \(U_t\) als { stetig} von \(t\) abhängend vorausgesetzt.
Verf. führte (Der Eindeutigkeitssatz der Schrödingerschen Operatoren, Math. Ann. 104 (1931), 570-578; F. d. M. 57) folgenden Begriff ein:
(M) Der Operator \(U_t\) hängt meßbar vom Zahlenparameter \(t\) ab, wenn für alle \(f,g\) des Hilbertschen Raumes die numerische Funktion \((U_t f,g)\) im Lebesgueschen Sinn meßbar ist.
In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß die Prämissen von (S) zusammen mit (M) die Stetigkeit von \(U_t\) bezüglich \(t\) nach sich ziehen. Ferner wird ein neuer Beweis von (S) gegeben. (IV 8.)

Citations:

JFM 56.0357.*
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