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Symbolic calculus. (English) JFM 58.0435.01

Im ersten Teile der inhaltsreichen Arbeit, in der formale Gesichtspunkte vorherrschen, stellen die Verf. frühere Ergebnisse van der Pols (1929; JFM 55.0255.*, 487) zusammen, um sie im zweiten, weit umfangsreicheren, auf wichtige Beispiele anzuwenden. Dazu bedienen sie sich hauptsächlich folgender Verfahren:
Um erstens die Summe \(\varPhi (z)\) gewisser unendlicher Reihen \(\sum _{n=0}^{\infty } \varphi _n (x)\) zu finden, summieren sie die Reihe der Bilder \(\psi _n (p) \doteqdot \varphi _n (x)\) zu \(\varPsi (p)\) und bestimmen das Urbild \(\varPhi (x)\) von \(\varPsi (p)\). So gewinnen sie aus dem Bilde der Hermiteschen Polynome ungraden Grades die Reihe \[ \sum _{n=0}^{\infty } \frac {(-1)^n}{(2n+1)!} H_{2n+1} \left ( \frac {x}2 \right ) =e\sin x. \tag{1} \] Die Verf. haben sie hier früher angegeben als F. Tricomi (Rendiconti Accad. d. L. Roma (6) 21 (1935), 332-335 (JFM 61.0452.*), insbes. p. 334, Formel (14)), der sie in der Gestalt neu entdeckte \[ \sin x=\frac {\sqrt 2}{e} \sum _{n=0}^{\infty } \frac {(-1)^n H^*_{2n+1} \left ( \frac {x}{\sqrt 2} \right ) }{1\cdot 3 \dots (2n+1)}, \; H_n (x) =2^{\frac {n}2} H^*_n (x\sqrt 2). \] Bemerkt sei, daß schon 1914 W. Kapteyn (Verslag Amsterdam 22 (1914), 1057-1069 (F. d. M. 45, 714 (JFM 45.0714.*)), insbesondere p. 1067) die allgemeinere Entwicklung aufgestellt hat \[ e^{\gamma ^2} \sin 2\gamma x=\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^n \frac {\gamma ^{2n+1}}{(2n+1)!} H_{2n+1} (x), \] aus der (1) für \(\gamma =1\) folgt, wenn man \(x\) durch \(\frac {x}2\) ersetzt.
Das zweite Verfahren ist die Anwendung des Faltunssatzes. An einschlägigen Ergebnissen seien ein Zusammenhang zwischen Besselschen Funktionen und Laguerreschen Polynomen: \[ e^{\frac {x}2} x^{n+\frac 12} I_{n+\frac 12} \left ( \frac {x}2 \right )=\frac 1{\sqrt {\pi } \Pi (2n)} \int _0^x e^{\xi }\xi ^{2n} L_n (x-\xi ) d\xi, \] und ein Integralausdruck des Quadrats der Besselschen Funktion, \[ J_n^2 (x)=\frac 2{\pi } \int _0^{\frac {\pi }2} J_{2n} (2x \sin \theta )\,d\theta. \] Drittens rechnen die Verf. bestimmte Integrale \(I\) symbolisch aus. Bei gewissen \(I=\int _0^{\infty } S(s)\,ds\) gelingt ihnen dies dadurch, daß sie statt \(I\) das Integral \(K(\alpha ) =\int _0^{\infty } T(s,\alpha )\,ds\) betrachten, wo \(T(s,1)=S(s)\) ist, so daß \(K(1)=I\) wird. Dann deuten sie den Parameter \(\alpha \) symbolisch als \(p^{-1}\); dadurch entsteht aus \(K(\alpha )\) ein neues, manchmal leicht auswertbares Integral. Rückwärts abgebildet, liefert es \(K(\alpha )\) und daher auch \(I\). Beispiele: \[ \int _0^{\infty } \frac {\sin s}{s}\,ds,\; \int _0^{\infty } \frac {\cos s}{1+s^2}\,ds,\; \int _0^{\infty } \frac {\cos s}{\sqrt {s}}\,ds. \] In anderen Fällen gehen die Verf. von einem bekannten Integral \[ \int _0^{\infty } W(s,\alpha )\,ds=\omega (\alpha ) \] aus, setzen hierin \(\alpha =\varphi (p)\) und ermitteln von beiden Seiten der so entstehenden Gleichung mit \(p\doteqdot x^{-1}\) die rücksärtigen Bilder; dabei ergeben sich oft neue Integralformeln. Beispiel: \[ W(s,\alpha )=e^{-\alpha s} s^n, \; \omega (\alpha )=\frac {\Pi (n)}{\alpha ^{n+1}}, \; \alpha =1+\frac 1{p} \] führt zu einer Darstellung des Laguerreschen Polynoms \[ L_n (x)=e^x \int _0^{\infty } e^{-s} s^n J_0 (2\sqrt {sx})\,ds. \] Sie kommt bei E. Le Roy (Annales Toulouse (2) 2 (1900), 317-430 (F. d. M. 31, 256 (JFM 31.0256.*)), insbes. p. 379-384) früher vor als bei Epstein und Muskat (1929; JFM 55.0537.*).
Unter den weiteren Ergebnissen seien erwähnt die symbolische Ausrechnung des bei der Ausbreitung elektrischer Wellen auftretenden Integrals \[ \int _0^{\infty }\frac {J_0 (\lambda r) e^{-\sqrt {\lambda ^2 -k^2}} \lambda d\lambda }{\sqrt {\lambda ^2 -k^2}} = \frac {e^{ik\sqrt {r^2 +z^2}}}{\sqrt {r^2 +z^2}}, \; \mathfrak {R} (k) >0, \mathfrak {I} (k)>) \] und das Bild der \(n\)-ten Kugelfunktion \[ e^{-p} p_{n+1} \left ( \frac 1{p} \frac {d}{dp} \right )^n \left ( \frac {e^p}{p} \right ) =p^{n+1} \left ( 1+\frac 12 \frac {d}{dp} \right )^n \frac 1{p^{n+1}} \doteqdot P_n (1-x). \]
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