Zur topologischen Algebra. I: Komplettierungstheorie. (German) JFM 58.0440.01

van Dantzig, D.

Math. Ann. 107, 587-626 (1932).

Die vorliegende Arbeit ist die erste einer Reihe von Arbeiten des Verf. über topologische Algebra – die zweite “Zur topologischen Algebra. II: Abstrakte \(\mathfrak {b}_{\nu }\)-adische Ringe” ist inzwischen in Compos. Math. 2, 201–223 (1935), erschienen (JFM 61.0113.02). Sie trägt den Untertitel “Komplettierungstheorie”, enthält aber in ihren ersten beiden Paragraphen allgemeine (meistens bekannte) algebraische und topologische Begriffe, die für die gesamte Reihe der Arbeiten wichtig sind; auch §3, der über topologische Gruppen, und §6, der über topologische Ringe und Körper handelt, sind nicht direkt dem im Untertitel angegebenen Gegenstand gewidmet, sondern bringen allgemein wichtige Sätze, z. B: Jede topologische Gruppe (d. h. innere Hausdorffsche Gruppe mit zweitem Abzählbarkeitsaxiom) ist regulär (d. h. zwei fremde abgeschlossene Mengen lassen sich durch Umgebungen trennen), jede offene Untergruppe ist abgeschlossen. (Falsch ist übrigens der Satz TG 20: Jeder stetige Homomorphismus läßt sich durch Faktorgruppenbildung erzeugen; siehe H. Freudenthal, Ann. Math. (2) 37, 46–56 (1936; JFM 62.0437.01), insbesondere S. 47.)
Der Hauptbegriff dieser Arbeit ist der der “Komplettheit” eines topologisch-algebraischen Gebildes; es ist das eine metrikfreie Vollständigkeit. Eine topologische Gruppe heißt komplett, wenn jede Fundamentalfolge konvergiert; \(a_{\nu }\) ist dabei eine Fundamentalfolge, wenn \(a_{\mu } a_{\nu }^{-1} \to 1\) (für \(\mu, \nu \to \infty \)). Analog (additiv) ist die Komplettheit eines Ringes zu verstehen und (additiv und multiplikativ) die eines Körpers.
Die wichtigsten Sätze über Komplettierung sind: Eine topologische Gruppe ist dann und nur dann komplettierbar, wenn die Transformierten einer Einsfolge mit einer Fundamentalfolge eine Einsfolge bilden (\(a_{\nu } \to 1, b_{\mu } b_{\nu }^{-1} \to 1\); dann \(b_{\nu }^{-1} a_{\nu }b_{\nu } \to 1\)). Ein topologischer Ring ist dann und nur dann komplettierbar, wenn das Produkt einer Nullfolge und einer Fundamentalfolge eine Nullfolge ist. Ein topologischer Körper ist dann und nur dann komplettierbar, wenn das Produkt zweier Fundamentalfolgen keine Nullfolge ist (es sei denn, eine der Fundamentalfolgen ist bereits eine Nullfolge).
Ferner gibt Verf. das folgende wichtige notwendige und hinreichende Kriterium für die (invariante) Metrisierbarkeit einer topologischen Gruppe: Die Transformierten einer Einsfolge bilden eine Einsfolge. Insbesondere ist jede Abelsche und jede kompakte Gruppe also metrisierbar. Sehr nützlich ist übrigens das der Arbeit angehängte Verzeichnis der Literatur über topologische Algebra.
Die meisten Ergebnisse dieser Arbeit finden sich übrigens bereits (ohne Beweise) in Verf.s Diss. (Groningen 1931; F. d. M. \(57_{\text I}\), 716). (V 2.)

Reviewer: Freudenthal, H., Dr. (Amsterdam)

MSC:

22-XX	Topological groups, Lie groups
54-XX	General topology

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 8. Kontinuierliche Gruppen. Differentialinvarianten. Integralvarianten.

Citations:

JFM 61.0113.02; JFM 62.0437.01

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