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Bemerkungen über Randableitungen positiver Potentialfunktionen . (German) JFM 58.0507.02

Es werden einige Sätze über dreidimensionale positive Potentialfunktionen bzw. Grrensche Funktionen und ihre Ableitungen bei Annäherung an den Rand bewiesen. Satz 1: Ist \(u(P) = u(r, \vartheta, \varphi )\) eine in der Einheitskugel nicht identisch verschwindende nicht negative harmonische Funktion, so gibt es zu jedem Punkte \(P_0\) der Kugeloberfläche eine Zahl \(a\), so daß \(\lim \frac {u(r, \vartheta, \varphi )}{1-r}\) bei “nicht tangentieller” Annäherung von \(P\) an \(P_0\) existiert und \(=a\) ist. \(a\) ist entweder positiv oder \(+\infty \). Ist \(a\) endlich, so konvergiert die Normalableitung von \(u\) auf \(u=\) const gegen \(a\) bei nicht tangentieller Annäherung von \(P\) an \(P_0\). Dieser Satz, dessen Beweis auf der Benutzung des Poissonschen Integrals beruht, ist das Analogon eines von Carathéodory (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 209) und anderen bewiesenen funktionentheoretischen Satzes. Als Folgerung von Satz 1 wird Satz 2 bewiesen, der von der Existenz der ersten Ableitungen der Greenschen Funktion am Rande sowie der Konvergenz der im Innern genommenen Ableitungen gegen die Randableitung handelt. Als Anwendung dieses Satzes wird ein neuer Beweis für bereits bekannte Resultate über Existenz der Normalableitung der Greenschen Funktion am Rande und die Stetigkeit der Normalableitung im abgeschlossenen Bereich (Satz 3) gegeben, sowie ferner (Satz 4) über die Konvergenz Greenschen Funktionen von Bereichen, die gegen den gegebenen Bereich konvergieren, gegen die Greensche Funktion dieses Bereichs.
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References:

[1] D. h. innerhalb eines geraden Kreiskegels, dessen Achse der Radius inP 0 und dessen SpitzeP 0 ist, und der sonst im Innern der Kugel liegt.
[2] Wir benutzen das von Herrn Ostrowski eingef?hrte Symbol ??a bzw. ??a, um das monotone Zunehmen bzw. Abnehmen von ??a zum Ausdruck zu bringen.
[3] J ? (0<???) bedeutet wie oben die Punktmenge ??? auf der Einheitskugel.
[4] Vgl. die in Fu?note 6)? zitierte Abhandlung S. 176 u., 177, 179 o. · JFM 53.0467.01 · doi:10.2307/2370747
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