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Una teoria astratta del calcolo delle probabilità. (Italian) JFM 58.0542.04
Ist eine meßbare Punktmenge vom Maße eins vorgelegt, und sind \(E_\nu \) \((\nu =1,2,\dots,n)\) meßbare Teilmengen derselben, so gilt für die zugehörigen Maße neben \(0\leq m(E_\nu )\leq 1\) noch \[ m(E_1+\dots +E_n)=\sum _{i=1}^n m(E_i)-\sum _{i,j}m(E_iE_j)+\dots +(-1)^{n-1}m(E_1\cdot \dots \cdot E_n), \] wenn die Summe die Vereinigungsmenge, das Produkt dagegen den Durchschnitt bezeichnet. Es wird der Begriff der “multiplikablen Teilmengen” eingeführt; \(E_1,E_2,\dots E_n\) heißen multiplikabel, wenn \(m(E_1\cdot E_2 \dots \cdot E_n)=m(E_1)\cdot m(E_2)\dots \cdot m(E_n)\) gilt. - Allgemein folgt \(m(E_n\cdot E_{n+1}\dots )\geq 1-\sum _{i=n}^\infty m(\bar E_i)\) für eine unendliche Folge von Teilmengen, wofern unter \(\bar E_i\) die Komplementärmenge zu \(E_i\) in der Grundmenge verstanden wird. Sind alle diese Teilmengen multiplikabel und divergiert \(\sum _{i=n}^\infty m(\bar E_i)\), so folgt \(m(E_n\cdot E_{n+1}\dots )=0\), mithin \(m(\bar E_n+\bar E_{n+1}+\dots )=1\).
Nur wird der Begriff der belasteten Variablen eingeführt: Man teile die Grundmenge in \(h\) punktfremde meßbare Teilmengen, die die Grundmenge restlos ausfüllen; das seien \( E_1,E_2,\dots E_h\). Die Funktion \(X\) nehme in jeder Teilmenge \(E_i\) einen konstanten Wert \(x_i\) an. Nimmt ebenso \(Y\) in analogen Teilmengen \(E'_1,E'_2,\dots E'_k\) konstante Werte \(y_j\) an, so wird die Summe von \(X\) und \(Y\) definiert durch die \(hk\) Werte \(x_i+y_i\), die in Teilmengen \(E_i E'_j\) angenommen werden.
Mit diesen Begriffsbildungen läßt sich das Bernoullische Theorem in Folgender Form ableiten, wie, da die Arbeit einen Vortrag wiedergibt, ohne Beweisdurchführung angegeben wird: Seien \(E_1,E_2,\dots,E_n\) multiplikable Teilmengen vom Maß \(p\) und seien die belasteten Variablen \(X_\nu \) definiert durch: “\(X_\nu =1\text{ in }E_\nu \), \(X_\nu =0\text{ in }\bar E_\nu \)”, sei ferner \(\nu _n=X_1+X_2+\dots +X_n\) gesetzt; dann ist das Maß derjenigen Teilmenge, in der \(\frac {\nu _n}n\) zwischen \(p-\varepsilon \) und \(p+\varepsilon \) bei beliebig vorgegebenem positivem \(\varepsilon \) liegt, größer oder gleich \(1-\frac {p(1-p)}{n\varepsilon ^2}\).
Desgleichen läßt sich folgende im wesentlichen auf Khintchine zurückgehende Verschärfung herleiten: Bezeichnet \(I_n\) die Teilmenge, für die mit beliebigem positivem \(\eta \) \[ \left |\frac {\nu _k}k-p\right |\leq (1+\eta )\sqrt {\frac {2p(1-p)\log \log n}n}\tag{*} \] gilt, und \(I'_n\) die Teilmenge, für die (*) gilt, wenn darin \(1+\eta \) durch \(1-\eta \) ersetzt wird, so gilt \[ \begin{gathered} m(I'_n\cdot I'_{n+1}\dots )=0, \\ m(I_n\cdot I_{n+1}\dots )>1-\varepsilon (n), \end{gathered} \] wo \(\varepsilon (n)\) mit unbegrenzt wachsendem \(n\) nach null strebt.
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