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Lösung eines geometrischen Wahrscheinlichkeitsproblems. (German) JFM 58.0556.03
Verf. behandelt das folgende Problem, auf das man in der Fernsprechtechnik gefürt wird:
Vor einer Gruppe von \(s\) Schaltern treffen täglich \(n\) Personen innerhalb eines Zeitintervalls von der Länge \(T\) regellos ein, wobei vorausgesetzt wird, daß für jede dieser Personen jeder innerhalb des Intervalls \(T\) liegende Ankunftszeitpunkt gleichwahrscheinlich sei. Als Abfertigungszeiten für jede dieser \(n\) Personen sind alle Werte eines bestimmten Intervalls \(t'\leq t\leq t''\) mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten zugelassen; jedoch sei vorgeschrieben, daß nur diejenigen Personen, bei deren Ankunft mindestens ein Schalter unbesetzt ist, wirklich abgefertigt werden, während alle übrigen die Schaltergruppe unabgefertigt verlassen mögen.
Gefragt wird unter anderem nach dem zu erwartenden Bruchteil der \(n\) eintreffenden Personen, die nicht zur Abfertigung gelangen. Die gesuchten Erwartungswerte stellen sich dar als vielfache bestimmte Integrale über gewisse von den Integrationsvariabeln in sehr unübersichtlicher Weise abhängige reelle Funktionen. Die Auswertung dieser Integrale geschieht vor allem mit Hilfe einer Verallgemeinerung des Dirichletschen diskontinuierlichen Faktors. Es gelingt so eine Zurückführung auf komplexe Doppelintegrale. Die Bestimmung einer im Integranden auftretenden Funktion erfordert noch die Lösung eines noch von der gegebenen willkürlichen Verteilungsfunktion abhängigen Systems vom \(s\) linearen Integralgleichungen im Komplexen.
Es werden dann für \(n\to \infty \) asymptotische Formeln abgeleitet; in diesem Fall befinden sich die betrachteten Vorgänge im statistischen Gleichgewicht.

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