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Kennzeichnung der Schlauchknoten. (German) JFM 58.0615.01
Verf. behandelt eine Verallgemeinerung der Schlauchknoten (vgl. den letzten Abschnitt des vorangehenden Referats), die dadurch entsteht, daß man einen beliebigen Knoten \(K\) durch \(n\) benachbarte zu ihm (in der Projektion) parallele Fäden ersetzt und diese nach Art eines Torusknotens \(m\)-fach verdrillt; \((n,m)=1\). \(m\) ist bei elementaren Deformationen von \(K\) nur mod \(n\) bestimmt, dagegen ist \(w=nv+m\), \(v\)=Selbstverdrillung von \(K\), eine Invariante des Schlauchknotens \(K_{n,m}\).
Die Gruppe \(\mathfrak K_{n,m}\) von \(K_{n,m}\) entsteht aus der Gruppe \(\mathfrak K\) von \(K\) durch Hinzufügen einer Erzeugenden und einer Relation; das Alexandersche Polynom \(\mathfrak P(x)\) von \(\mathfrak K_{n,m}\) drückt sich durch das Polynom \(\mathfrak F(x)\) von \(\mathfrak K\) folgendermaßen aus: \[ \mathfrak P(x)=\mathfrak F(x^n)\mathfrak P_{w,n}(x) \] mit \[ \mathfrak P_{w,n}(x)={(x^{wn}-1)(x-1)\over (x^w-1)(x^n-1)}. \] (\(\mathfrak P_{a,b}(x)\) ist das zu \(\mathfrak K_{a,b}\) gehörende Polynom, wenn man für \(K\) einen Kreis nimmt.)
Wenn die Zerlegung von \(\mathfrak F(x)\) in irreduzible Faktoren nicht nur Kreisteilungspolynome enthält, kann man \(n\) durch Vergleichen der kein Kreisteilungspolynom mehr enthaltenden Faktoren von \(\mathfrak F(x)\) und \(\mathfrak P(x)\) und dann aus dem zum höchsten Teilungsgrad gehörenden Kreisteilungsfaktor von \(\mathfrak P(x)/\mathfrak F(x^n)\) auch \(w\) ermitteln. Hat dagegen \(\mathfrak F(x)\) nur Kreisteilungspolynome als Faktoren, so können, was Verf. nicht näher ausführt, zwei nicht unterscheidbare Typen von Schlauchknoten über \(K\) auftreten. Jedoch kann man im Falle der speziellen Schlauchknoten höherer Stufe (vorangehendes Referat), obgleich hier nur Kreisteilungspolynome als Faktoren auftreten, die Zahlen \(m_\varkappa \), \(n_\varkappa \) aus der Faktorzerlegung von \(\mathfrak P(x)\) ermitteln.

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