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Sur quelques courbes fermées remarquables. (French) JFM 58.0633.01
Nach H. Poincaré (Journ. de Math. (4) 1 (1885), 167–244 (F. d. M. 17, 680 (JFM 17.0680.01)), insbes. p.228) können die eineindeutigen stetigen Transformationen \(T\) eines Kreises in sich folgendermaßen durch einen eindeutig bestimmten Drehungskoeffizienten \(\tau \) charakterisiert werden: Sei \(T_n\) die \(n\)-te Iteration von \(T\), \(\vartheta _n\) das Argument des Bildes des Punktes mit dem Argument \(\vartheta \) bei der Abbildung \(T_n\), dann gilt für alle Punkte des Kreises: \[ n\tau -2\pi <\vartheta _n-\vartheta <n\tau +2\pi . \] Entsprechendes gilt für eine einfache geschlossene Kurve \(I\) als eindeutiges stetiges Bild eines Kreises.
Wie verhalten sich nun beliebige Kurven \(C\), die die Ebene in zwei einfach zusammenhängende Gebiete \(S_a\) und \(S_i\) zerlegen, so daß jeder Punkt von \(C\) mindestens einem der Ränder von \(S_a\) und \(S_i\) angehört? Wieder nach Poincaré existieren zwei jeweils eindeutig bestimmte Drehungskoeffizienten \(\tau _a\) und \(\tau _i\), die den vom Äußeren bzw. vom Inneren von \(C\) erreichbaren Punkten von \(C\) zugeordnet sind. Da bei \(T_n\) jeder von \(S_a\) bzw. \(S_i\) erreichbare Punkt von \(C\) in einen ebensolchen übergeht, gilt wieder \[ n\tau -2\pi <\vartheta _n-\vartheta <n\tau +2\pi, \] wo \(\tau =\tau _a\) oder \(=\tau _i\), je nachdem, ob der Punkt von \(S_a\) oder \(S_i\) aus erreichbar ist. Verf. zeigt nun durch Konstruktion einer geeigneten Kurve \(C\), die sogar den Rändern von \(S_a\) und \(S_i\) angehört, daß \(\tau _a\) und \(\tau _i\) nicht gleich zu sein brauchen. Hieraus läßt sich eine weitere Folgerung ziehen: Es gibt Kurven \(C\) und zugehörige Transformationen \(T\), so daß die von \(S_a\) aus erreichbaren Punkte von \(C\) durch \(T\) im entgegensgesetzten Sinne bewegt werden, wie die von \(S_i\) aus erreichbaren Punkte von \(C\).

Subjects:
Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 2. Topologie.
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