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Una nuova forma canonica della ternaria cubica. (Italian) JFM 58.0695.04

Die Tangente in einem Punkte \(P_1\) einer ebenen \(C_3\) schneidet die \(C_3\) im “Tangentialpunkt” \(P_2\) von \(P_1\). Sei \(P_3\) der Tangentialpunkt von \(P_2\). Ist \(P_1\) wieder der Tangentialpunkt von \(P_3\), so bilden \(P_1 P_2 P_3\) ein “Tangentialdreieck” der \(C_3\). Ist dieses Fundamentaldreieck, so kann man die Gleichung der \(C_3\) in der Gestalt \[ F=x^2_1 x_2 + x^2_2 x_3 + x^2_3 x_1 + 2tx_1 x_2 x_3 = 0 (1) \] schreiben. Dies ist die neue kanoniche Form von F.. Für veränderliche \(t\) ergibt sich ein Büschel von \(C_3\), das vom Verf. “oskulierendes Büschel” genannt wird zum Unterschied von dem durch die kanonische Form \[ G= y^3_1 + y^3_2 + y^3_3 + 6 \lambda y_1 y_2 y_3 = 0 (2) \] dargestellen “syzygetischen” Büschel. Der Zusammenhang zwischen den absoluten Invarianten \(t\) und \(\lambda \) wird dann durch \[ t=\frac {a^3 + b^3 + c^3 - 3\lambda abc}{a^3\alpha + b^3 \alpha ^2 + c^3} \quad (\alpha ^3 = 1) \] gegeben, wobei die Verhältnisse \(\frac {a}{c}\) und \(\frac {b}{c}\) von zwei Gleichungen dritten Grades abhängen.
Die Möglichkeit von (1), d. h. die Existenz von Tangentialdreiecken, wird nachgewiesen durch lineare Transformationen, die von der klassischen Form (2) ausgehen. Es ergibt sich, daß die allgemeine \(C_3\) 24 verschiedene Tangentialdreiecke besitzt, die 36 Paare konjugierter Dreiecke bilden; letztere sind einem Kegelschnitte eingeschrieben.
Bei einer äquinharmonischen \(C_3\) mit gewöhnlichem Doppelpunkt existieren nur zwei, bei einer mit Spitze kein Tangentialdreieck.
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Full Text: EuDML