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Sul genere dei modelli algebrici di un sistema spaciale di \(K\) circuiti. (Italian) JFM 58.0716.02
Gibt es ein System singularitätenfreier, einander nicht schneidender, irreduzibler algebraischer Raumkurven, deren Geschlechter \(p_i\) gegebene Werte haben, und für deren reelle Züge die Anzahl \(k_i\) und der Verknotungs- und Verkettungstyp (im projektiven Raume) vorgeschrieben ist? Die Frage wird erschöpfend beantwortet: Die nach dem Harnackschen Satze notwendige Bedingung \(p_i \geqq k_i - 1\) ist auch hinreichend für das Vorhandensein des gewünschten Systems. Beweis in drei Stufen: 1) \(k_i = 1, p_i = 0 \); 2) eine Kurve, \(p=k-1\); 3) allgemeiner Fall.
Beweis zu 1): Die Verkettung sei durch Streckenzüge \(\sum \) allgemeiner Lage bzw. durch deren ebene Projektion \(\sum ^\prime \) mit Festsetzung des “drüber und drunter” bei Überkreuzungen gegeben. Die Restrecken der bei \(\sum ^\prime \) benutzten Geraden bilden einen ergänzenden Streckenzug; mit ihm wird an einer Ecke \(\sum ^\prime \) zu einem einzigen Streckenzug verbunden. Bei geeigneter Festsetzung des “drüber und drunter” bei Überkreuzungen dieser Züge ist das dadurch erklärte System von räumlichen Kurvenzügen isotop dem anfangs gegebenen; dies ist der topologische Teil des Beweises. Die jetzt an einem Streckenzug beteiligten Geraden bilden bei geeigneter Festsetzung des Zusammenhängens oder Nicht-Zusammenhängens in den Schnittpunkten eine Kurve vom virtuellen Geschlecht 0. Hinzufügen einer Anzahl konjugiert-imaginärer Geradenpaare sorgt für die nötige Konstanstenzahl, so daß die Singularitäten da aufgelöst werden können, wo keine Überkreuzungen vorliegen; es entstaht ein System irreduzibler rationaler ebener Kurven, das als Projektion der gesuchten Raumkurven geeignet ist. Dann sorgt eine geeignete monoidale Darstellung für das richtige “drüber und drunter”.
Zum Beweise zu 2) werden diese rationalen Raumkurven durch Paare konjugiertimaginärer Geraden verbudnen. Bekannte Sätze von {it Severi} zeigen, daß die so entstehenden Kurven ind stetigen Familien irreduzibler Kurven des richtigen Geschlechts enthalten sind. Zum Beweise zu 3) ist es nur nötig, das Geschlecht zu erhöhen; das gelingt in ähnlicher Weise mit Hilfe reeller nullteiliger Kegelschnitte, die die vorliegende Kurve in zwei Punkten schneiden.
Subjects:
Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 5. Algebraische Geometrie. E. Algebraische Raumkurven, Flächen und Liniensysteme.
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Full Text: EuDML