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Kovariante Ableitung und die Cesàroschen Unbeweglichkeitsbedingungen. (German) JFM 58.0756.01

Verf. unterscheidet rheonome Koordinatensysteme bzw. Koordinatentransformationen: \[ \overline x ^i =\overline x^i(x^k,t) \qquad (t\text{ ``Zeitparameter''}) \tag{*} \] und skleronome: \[ \overline x^i = \overline x^i(x^k), \tag{**} \] und entsprechend “schwache” und “starke” Vektoren und Tensoren. Starke Tensoren transformieren sich bei (*), als ob diese Transformationen zeitunabhängig wären. Sodann wird ein absoluter Differentialkalkül gegenüber (*) aufgebaut, also zunächst eine “starke” lineare Übertragung: \[ \delta X^i = dX^i + \Gamma ^i_{jk} X^j dx^k +\Lambda ^i_j X^j dt, \quad \delta X_i = dX_i -\Gamma ^j_{ik} X_j dx^k-\Lambda ^j_i X_j dt \] kontra- bzw. kovarianter Vektoren und allgemeiner eine solche beliebiger Tensoren. Von den erhaltenen Formeln macht Verf. speziellen Gebrauch im Falle euklidischer Räume und cartesischer Koordinaten \(\overline x^i\). Es ergeben sich die bekannten Darbouxschen Formeln der räumlichen Kinematik sowie Cesàros Gleichungen: \[ \frac {dx^1}{ds}-\frac {x^2}\varrho =-1,\quad \frac {dx^2}{ds}+\frac {x^1}\varrho +\frac {x^3}\tau =0,\quad \frac {dx^3}{ds}-\frac {x^2}\tau =0 \] für die Bogenlänge \(s\) der Raumkurve mit der Krümmung \(\dfrac 1\varrho \) und der Torsion \(\dfrac 1\tau \). Der Kalkül kann auch auf Transformationen der Art: \[ \overline x^i = f^i(x^k,t_1,\dots, t_r) \] erweitert werden. Man kann überdies die starke Geometrie als integrablen Fall der sogenannten nichtholonomen Geometrien auffassen.
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