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Über die Ableitungsgleichungen der ametrischen Mannigfaltigkeiten. (German) JFM 58.0783.01

Frenetformeln, Ableitungsgleichungen und natürliche Gleichungen (mit zugehörigen Integrabilitätsbedingungen) bilden das Grundgerüst jedweder Differentialgeometrie eingebetteter Mannigfaltigkeiten und sind innerhalb verschiedener Transformationsgruppen, Dimensions- und Einbettungszahlen behandelt worden. Dabei wird jedoch immer die “erste Fundamentalform” (innerhalb der bewegungsinvarianten Differentialgeometrie die “erste metrische Grundform” \(g_{\alpha \beta } du^\alpha \,du^\beta \)) regulär vorausgesetzt (\(|g_{\alpha \beta }|\not \equiv 0\)).
Gerade diese Voraussetzung wird von Verf. in einer Reihe von Untersuchungen fallen gelassen, mehr noch, es wird von vornherein systematisch der Extremfall \(g_{\alpha \beta }\equiv 0\) verfolgt. Nachdem die “Frenetformeln” der isotropen Kurven im gewöhnlichen Raum (ametrische \(V_1\) in \(R_3\)) mit den zugehörigen Invarianten- und Extremalenproblemen bereits früher bekannt geworden waren (vgl. Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie Bd. I (3. Aufl., 1930; F. d. M. \(56_{\text I}\), 588), §§24, 32), entstand das analoge Problem für die ametrisch (totalisotropen) Mannigfaltigkeiten höherer Dimension. Bereits die erwähnte Behandlungen der isotropen Kurven zeigt charakteristische Schwierigkeiten: Die Binormale dieser Kurven liegt in der Schmiegebene - anders ausgedrückt, die Gramsche Determinante der gleichwohl linear unabhängigen Kurventangente und Hauptnormale verschwindet. Für eine ametrische \(V_\mu \) im euklidischen \(R_n\) (\(\mu \leq [\frac n2]\)) wählt Verf. auf dem uneigentlichen linearen Schnitt-\(R^u_{\mu -1}\) des Tangential-\(R_\mu \) der \(V_\mu \) in einem regulären Punkt \(P\) mit der absoluten Mannigfaltigkeit \(A^2_{n-2}\) des \(R_n\) \(\mu \) linear unabhängige Punkte, d. h. \(\mu \) linear unabhängige Vektoren \(\mathfrak x\) in \(P\) und weitere \(\mu \) linear unabhängige Punkte auf einem anderen \(R^u_{\mu -1}\) der \(A^2_{n-2}\), d. h. weitere \(\mu \) linear unabhängige von \(P\) ausgehende Vektoren \(\overline {\mathfrak x}_\alpha \). Dann gilt bei passender Wahl und Normierung: \[ \mathfrak x_\alpha \mathfrak x_\beta = \overline {\mathfrak x}_\alpha \overline {\mathfrak x}_\beta = 0, \quad \mathfrak x_\alpha \overline {\mathfrak x}_\beta = \delta _{\alpha \beta } \qquad (\alpha,\beta =1,2,\dots,\mu ). \] Ergänzt man jetzt die \(2\mu \) Vektoren \(\mathfrak x_\alpha,\overline {\mathfrak x}_\alpha \) durch \(n-2\mu \) Vektoren \(\mathfrak n_i\), welche den Bedingungen: \[ \mathfrak x_\alpha \mathfrak n_i = \overline {\mathfrak x}_\alpha \mathfrak n_i =0, \quad \mathfrak n_i \mathfrak n_k=\delta _{ik}, \qquad (i,k=1,2,\dots,n-2\mu ) \] genügen, so sind \(n\) linear unabhängige Vektoren, welche von \(P\) ausgehen, gewonnen; sie bilden das begleitende \(n\)-Bein der zu untersuchenden \(V_\mu \).
Für die Ableitungen \(\mathfrak x_{\alpha \beta }\), \(\overline {\mathfrak x}_{\alpha \beta }\), \(\mathfrak n_{i\beta }\) ergeben sich lineare Darstellungen mit Hilfe der Vektoren des begleitenden \(n\)-Beins und von vier Koeffizientensystemen: \(\Gamma ^\gamma _{\alpha \beta }\), \(b^i_{\alpha \beta }\), \(\overline \Gamma ^\beta _{\alpha \gamma }\), \(c^k_{i\beta }\). Sie genügen von vornherein gewissen Symmetriebedingungen, welche sich aus der ametrischen Natur der \(V_\mu \) ergeben. Die Untersuchung der Integrabilitätsbedingungen führt zu einem Analogon des Bonnetschen Satzes der Flächentheorie: Eine ametrische Mannigfaltigkeit ist durch die Koeffizienten ihrer Ableitungsgleichungen, falls sie nur den Symmetriebedingungen und Integrabilitätsbedingungen genügen, im \(R_n\) bis auf Kongruenztransformationen und Spiegelungen vollständig bestimmt.
Von den Koeffizientensystemen der Ableitungsgleichungen gelangen die \[ b^s_{\alpha \beta } = \mathfrak n_i \mathfrak x_{\alpha \beta } \] zu besonderer Bedeutung. Der Rang \(r\) der Matrix \((b^s_{\alpha \beta })\) bestimmt die Anzahl der wesentlichen Parameter, von welchen die Tangentialräume der \(V_\mu \) abhängen. Es gilt: \(0\leq r\leq \mu \), \(s=1,2,\dots,m\); \(m=n-2\mu \). Für \(m=0\) und \(m=1\) gilt immer \(r=m\). Für \(m\geq \mu \) ist im allgemeinen \(r=\mu \). Für \(m=1\), \(r=1\) erhält man ametrische \(V_\mu \), welche als Hüllgebilde der Schmiegräume einer (isotropen) Kurve im \(R_n\) aufgefaßt werden können. Für \(\mu =m=1\) erhält man die ametrischen (isotropen) Kurven und Geraden des \(R_3\). \(\mu \)-parametrige Mannigfaltigkeiten von Tangentialräumen sind für \(n>3\) nur innerhalb der Schranken \(1\leq \mu <\dfrac {n-1}2\) möglich. Allgemein gilt: In einem euklidischen \(R_n\) gibt es ametrische Mannigfaltigkeiten \(V_\mu \) für \(1\leq \mu \leq \Big [\dfrac n2\Big ]\). Hat \(\mu \) seinen größten Wert \(\Big [\dfrac n2\Big ]\), so ist die \(V_\mu \) für gerade \(n\) linear, für ungerade \(n\) linear oder eine Torse mit \(\infty ^1\) Tangentialräumen. Die ametrischen Mannigfaltigkeiten des euklidischen \(R_n\) sind die Integralmannigfaltigkeiten der Mongeschen Differentialgleichung \[ dx_1^2 + dx_2^2 + \dots + dx_n^2 =0. \] Für \(n=2,3\) ist ihre Integration längs bekannt (vgl. das oben zitierte Buch von Blaschke, §20). Später wurden die Fälle \(n=4\) und \(n=5\) von Verf. und Ref. behandelt (vgl. 1926; F. d. M. 52, 748 (JFM 52.0748.*), 750). Dabei zeigte sich bereits der Torsencharakter der ametrischen Flächen des \(R_5\). Erst die ametrischen Flächen des \(R_6\) ließen \(\infty ^2\) Tangentialebenen erwarten. Verf. behandelt die Integration der Mongeschen Gleichung in sechs Veränderlichen: \[ dy_1\,d\overline y_1 + dy_2 \,d\overline y_2 + dy_3\,d\overline y_3=0, \] welche vermöge der Transformation: \[ \begin{alignedat}{2} y_1&=x_1+ix_2, &\quad \overline y_1&= x_1-ix_2, \\ y_2&=x_3+ix_4, &\quad \overline y_2&= x_3-ix_4,\qquad (i=\sqrt {-1}) \\ y_3&=x_5+ix_6, &\quad \overline y_3&= x_5-ix_6, \end{alignedat} \] mit \(\sum _{\nu =1}^6 dx_\nu ^2=0\) zusammenhängt. Die Integration gelingt unter Verwendung eines Pfaffschen Systems von vier Gleichungen in sechs Veränderlichen. Seine Integrabilitätsbedingungen können auf die Cauchy-Kowalewskische Normalform gebracht werden.
Die Untersuchungen werden mit der Angabe einer speziellen ametrischen Fläche des \(R_6\) mit \(\infty ^2\)-Tangentialebenen beschlossen. Ihre Gleichungen lauten: \[ \begin{alignedat}{2} \overline y_1&=-\frac {y_2^3}6, &\quad \overline y_2&=-\frac {y_1 y_2^2}2, \\ y_3&= \frac {y_2^2}2, &\quad \overline y_3&= y_1 y_3. \end{alignedat} \]

Citations:

JFM 52.0748.*
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