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Il problema di deformazione, nel gruppo conforme, delle reti \(O\) di uno spazio a quatro dimensioni. (Italian) JFM 58.0799.05

Verf. studiert das Problem der Deformation der Flächen des \(S_4\) in der konformen Gruppe, die ein konjugiertes und orthogonales System (Netz \(O\)) besitzen. Er führt dieses Problem auf ein solches “vom zweiten Typus” der beiden von Fubini in einer Untersuchung aus dem Jahre 1928 behandelten Typen zurück, die dem allgemeinen Problem der Abwickelbarkeit in quadratischen Räumen gewidmet war (Rendiconti Palermo 52 (1928), 458-477 (F. d. M. 54, 781 (JFM 54.0781.*)), insbesondere S. 471 ff.) Für die Darstellung des Netzes \(O\) im \(S_4\), bis auf konforme Abwickelbarkeiten, bestimmt Verf. das lineare konforme Element desselben (vgl. Fubini, loc. cit. S. 472) zuerst in Funktion der Koeffizienten des Differentialsystems, von dem die Bestimmung der Netze \(O\) im \(S_4\) anhängt. Hierauf gibt er vier skalare Differentialinvarianten \(\Theta,\omega _1,\omega _2,J\) des Netzes \(O\) für die konforme Gruppe an; er erhält sich durch eine Verallgemeinerung des Vorgehens, das er schon zur Untersuchung der konformen Differentialinvarianten einer Fläche des \(S_3\) angewendet hat (Rendiconti Palermo 22 (1906), 197-213; F. d. M. 37, 178 (JFM 37.0178.*)). Durch diese vier Invarianten (und ihre Ableitungen) kann man alle konformen Differentialinvarianten des Netzes ausdrücken (vgl. für den Fall eines umgebenden \(S_3\) loc. cit. p. 210). Verf. gibt hinreichende Differentialbedingungen ((20) und (21), p. 359) dafür an, daß Netze \(O\) existieren, für die die Invarianten \(\Theta,\omega _1,\omega _2,J\) gewisse vorgegebene Funktionen der krummlinigen Koordinaten \(u,v\) sind. Das lineare konforme Element drückt sich in Funktion dieser vier Invarianten so aus: \[ \frac {\omega _1^2+\omega _2^2}{4\theta ^2} \frac {(du^2-\theta ^2dv^2)^2} {du^2+\theta ^2 dv^2}. \]
Verf. zeigt, daß, wenn das Netz \(O\) einem Raume von einer Dimensionszahl kleiner als 4 angehört, die Invarianten \(\omega _1,\omega _2\) durch eine lineare homogene Beziehung mit konstanten Koeffizienten verknüpft sind; schließt man diesen Fall aus, so hat man für die Netze des \(S_4\) drei Typen konformer Deformationen. Außer den Deformationen erster Art (die dem einzigen Typus von konformen Deformationen für die Netze \(O\) im \(S_3\) entsprechen), nämlich denen, für die sich die deformierten Netze nur durch die Invariante \(J\) unterscheiden (abgesehen von einer orthogonalen Substitution von \(\omega _1\) und \(\omega _2\) mit konstanten Koeffizienten), sind zu betrachten die Deformationen zweiter Art, für die \(\omega _1'\) und \(\omega _2'\) mit \(\omega _1\) und \(\omega _2\) verknüpft sind durch eine orthogonale Substitution mit Koeffizienten, die Funktionen von \(u\) und \(v\) sind; schließlich diejenigen dritter Art, für die das lineare konforme Element auch lineares konformes Element eines Netzes aus \(S_3\) ist; das Ausgangsnetz \(O\) gehört dem \(S_4\) an, aber das deformierte einem \(S_3\).
Analog zu dem bekannten Theorem von G. Thomsen für die Netze \(O\) in \(S_3\) gilt, daß die einzigen Netze \(O\) in \(S_4\), die Deformationen erster Art zulassen, die isothermen Netze \(O\) sind; die Deformationen erster Art unterscheiden sich nicht von den Transformationen \(C_m\) für die isothermen Flächen, die Verf. i. J. 1903 eingeführt hat (F. d. M. 34, 653 (JFM 34.0653.*)). Unendlich viele Deformationen zweiter Art, abhängend von einer willkürlichen Konstanten, lassen die Netze \(O\) zu, die von Linien mit konstanter geodätischer Krümmung gebildet werden (eine Charakterisierung, die gegenüber Transformationen der konformen Gruppe invariant ist): Das sind Netze, für die das lineare konforme Element in die Form \((U^2+V^2)\dfrac {(du^2-dv^2)^2}{du^2+dv^2}\) gebracht werden kann (\(U,V\) sind Funktionen von \(u\) bzw. \(v\) allein). Auch die konform deformierten dieser Netze besitzen konstante geodätische Krümmung. Endlich betrachtet Verf. die Netze \(O\) des \(S_4\) (mit konstanter geodätischer Krümmung), die eine konforme Deformation (dritter Art) zu einem Netz des \(S_3\) zulassen; er findet, daß das lineare konforme Element für sie auf die Form \((\wp (u)+\wp (v))\dfrac {(du^2-dv^2)^2}{du^2+ dv^2}\) gebracht werden kann, wo die Weierstraßschen Funktionen \(\wp (u)\) und \(\wp (v)\) die Invarianten \(g_2,g_3\) und \(g_2,-g_3\) haben.
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Full Text: EuDML