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Sulle serie doppie. (Italian) JFM 58.1047.05
Die Doppelreihe \[ \sum _{\mu, \nu =0}^{\infty } a_{\mu \nu } \tag{1} \] mit den Teilsummen \(S_{mn}=\sum _{\mu =0}^{m}\sum _{\nu =0}^{n}a_{\mu \nu }\) heißt im Pringsheimschen Sinn konvergent zum Werte \(s\), falls die Doppelfolge \((S_{mn})\) gegen \(s\) strebt. Leja (Math. Ann. 103 (1930), 364-368; F. d. M. \(56_I\), 204-205) nent (1) in der Richtung \((\alpha,\beta )\) zum Werte \(s\) konvergent (\(\alpha \geq 0\); \(\beta \geq 0\); \(\alpha ^2+\beta ^2=1\)), falls die einfache Reihe \[ \sum _{\lambda _n=0}^{\infty }\Big (\sum _{\alpha \mu +\beta \nu =\lambda _n}^{}a_{\mu \nu }\Big ) \tag{2} \] gegen \(s\) konvergiert, wo \((\lambda _n)\) die monoton geordnete Folge der verschiedenen Werte \(\alpha \mu +\beta \nu \) mit ganzzahligem \(\mu \) und \(\nu \geq 0\) durchläuft. Der Verf. nennt eine solche Richtung rational oder irrational, je nachdem \(\alpha /\beta \) rational oder irrational ist, und zeigt:
Für die konvergenz von (1) in einer irrationalen Richtung ist notwendig, daß \((a_{\mu \nu })\) mit monoton wachsender Indicessumme gegen \(0\) strebt. Eine Doppelreihe, für deren allgemeines Glied diese (nicht hinreichende) Bedingung verletzt ist, kann also höchstens in rationalen Richtungen konvergieren.
Existiert für eine feste Richtung \((\alpha,\beta )\) mit \(\alpha \beta \neq 0\) für die Teilsummen \(S^*_{\lambda _n}\) von (2) \[ \lim _{n\to \infty }\frac {S^*_{\lambda _0}+S^*_{\lambda _1}+\cdots +S^*_{\lambda _n}}{n+1}=s^* \] als endlicher Wert, so heiße (1) im Cesàroschen Sinn konvergent zum Werte \(s^*\) in der Richtung \((\alpha,\beta )\). Hierfür wird bewiesen:
Wenn \[ \lim _{n\to \infty }\frac {S_{0n}+S_{1,n-1}+\cdots +S_{n0}}{n+1}=S \tag{3} \] als endlicher Wert existiert, so ist (1) nach Diagonalen (d. h. in der Richtung \((\frac {1}{\sqrt {2}},\frac {1}{\sqrt {2}})\)) auch \(C\)-konvergent mit der Summe \(S\) und umgekehrt. Wenn (1) im Pringsheimschen Sinn gegen \(s\) konvergiert und \((a_{\mu \nu })\) mit monoton wachsender Zeilensumme gegen \(0\) strebt, so gilt auch (3) mit \(S=s\) und (1) ist in jeder Richtung \((\alpha,\beta )\) mit \(\alpha \beta \neq 0\) zum Werte \(s\) \(C\)-konvergent.
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Full Text: EuDML