On some series of functions. III. (English) JFM 58.1070.01

Paley, R. E. A. C; Zygmund, A.

Proceedings Cambridge 28, 190-205 (1932).

Die Note bringt eine unmittelbare Fortsetzung der von den Verf. in ihren beiden früheren Noten gleichen Titels (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 254-255) begonnenen Untersuchungen. Dabei werden teils frühere Ergebnisse verschärft und verallgemeinert, teils werden ihnen neue hinzugefügt. Sind wie früher \(\Phi _n(t)\) die Rademacherschen, \(\Psi _n(t)\) die Steinhausschen Funktionen, so wird im wesentlichen gezeigt:
1) Sind \((c_n)\) reelle oder komplexe Zahlen mit \(\sum |c_n|^2<\infty \), so gilt für fast alle \(t\) \[ S_{t,n}(\theta )\equiv \sum _{\nu =0}^n c_{\nu }e^{i\nu \theta }\Phi _{\nu }(t) = o\bigl (\sqrt {\log n}\bigr ) \] gleichmäßig in \(\theta \). Dasselbe gilt mit \(\Psi _n(t)\) an Stelle von \(\Phi _n(t)\).
2) Ist in \(|z|<1\) \[ S_t(z)=\sum _{n=0}^\infty c_nz^n\Phi _n(t)\quad \text{mit}\quad \sum |c_n|^2=\infty, \] und ist \(\omega (x)\) irgendeine Funktion, die mit \(x\) gegen \(\infty \) geht, so ist für fast alle \(t\) da Integral \[ \int \limits _0^{2\pi } \omega \bigl (|S_t(re^{i\theta })|\bigr )d\theta \] bei \(r\to 1\) unbeschränkt. Dasselbe gilt mit \(\Psi _n(t)\) an Stelle von \(\Phi _n(t)\).
3) Es sei \(\chi _0(x)\equiv 1\) und weiterhin \[ \chi _n(x)=\Phi _{n_1}(x)\Phi _{n_2}(x)\cdots \Phi _{n_k}(x)\quad \text{für}\quad n=2^{n_1}+2^{n_2}+\cdots +2^{n_k}\quad (n=1,2,\dots ) \] (vgl. zu diesem Funktionensystem: J. L. Walsh, Amer. J. 45 (1923), 5-24; F. d. M. 49, 293 (JFM 49.0293.*)-294). Sind dann \((c_n)\) reelle Zahlen, für die \[ |c_0|+\sum _{m=0}^\infty \biggl (\sum _{n=2^m}^{2^{m+1}-1}c_n^2 \biggr )^{\frac 12}\quad \text{divergiert}, \] so ist für fast alle \(t\) die Funktion \[ \sum _{n=0}^\infty c_n\Phi _n(t)\chi _n(x)\quad \text{in}\quad 0\leq x \leq 1\quad \text{unbeschränkt} \] und \[ \sum _{n=0}^\infty c_n\Phi _n(t)r^n\cos nx\quad \text{in}\quad r<1,\quad 0\leq x \leq 2\pi \quad \text{unbeschränkt}. \]
Diese beiden Sätze zeigen, daß, obwohl bei gleichmäßig beschränkten \(f_n(x)\) fast alle Reihen \[ \sum _{n=0}^\infty c_n\Phi _n(t)f_n(x)\tag{\(^*\)} \] gegen eine zu jeder endlichen Lebesgueschen Klasse gehörige Funktion konvergieren, doch nicht allgemein gilt, daß diese Funktion für fast alle \(t\) beschränkt ist. Es gilt daher auch nicht allgemein, daß \((^*)\) für fast alle \(t\) gleichmäßig in \(x\) konvergiert. Dagegen besteht der Satz: Ist \(\sum |c_n|^2n^{2\gamma }<\infty \) \((0<\gamma <1)\), so sind für fast alle \(t\) die Reihen \[ \sum _{n=0}^\infty c_n\Phi _n(t)e^{in\theta },\quad \sum _{n=0}^\infty c_n\Psi _n(t)e^{in\theta } \] gleichmäßig \((C,-\gamma )\)-summierbar in \((-\pi,+\pi )\).
4) Hat \(\sum c_nz^n\) den Konvergenzradius 1, so ist für fast alle \(t\) die Funktion \[ f_t(z) = \sum _{n=0}^\infty c_nz^n\Phi _n(t) \] nicht über den Einheitskreis hinaus forsetzbar (ohne Beweis in Note I). Ein analoger Satz gilt für Dirichletsche Reihen.
5) Es sei \[ f(z) = \sum _{n=0}^\infty a_nz^n \] eine ganze Funktion; ihre Ordnung ist definiert durch \[ \omega =\varlimsup _{r\to \infty }(\log r)^{-1}\log \log \mathop{\operatorname{Max}}_{0\leq \theta \leq 2\pi } |f(re^{i\theta })|,\tag{\(^{**}\)} \] entsprechend ihre Ordnung in einem Winkelraum \((\alpha,\beta )\), indem \(0\leq \theta \leq 2\pi \) durch \(\alpha \leq \theta \leq \beta \) ersetzt wird. Fast alle Funktionen \[ \sum _{n=0}^\infty a_nz^n\Phi _n(t),\quad \sum _{n=0}^\infty a_nz^n\Psi _n(t) \] haben in jedem Winkelraum \(\alpha \leq \operatorname{arc} z \leq \beta \) dieselbe Ordnung, nämlich die durch \((^{**})\) gegebene Ordnung \(\omega \). (IV 4.)

Reviewer: Lösch, F., Prof. (Rostock)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.

Citations:

JFM 49.0293.*