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A note on analytic functions in the unit circle. (English) JFM 58.1076.03

1) Anknüpfend an Ergebnisse von M. Riesz, Littlewood und Hardy-Littlewood (vgl. insbesondere Hardy-Littlewood, 1932; JFM 58.0333.*) zeigen die Verf. zunächst über das Verhalten von Real- u. Imaginärteil einer in \(|z|<1\) analytischen Funktion \[ f(z) = u(r,\theta ) + i v(r,\theta )\quad (z=re^{i\theta }) \] bei Annäherung an den Konvergenzkreis: Sind \(\chi (t)\), \(\psi (t)\) \((0\leq t<+\infty )\) zwei beliebige, nichtnegative, meßbare, in jedem endlichen Intervall beschränkte Funktionen, die für \(t\to \infty \) den Bedingungen \(\chi (t)=o(t)\), \(\psi (t)\to \infty \) genügen, so gibt es eine Funktion \(f(z)\), für die bei \(r\to 1\) gilt \[ \int \limits _0^{2\pi } \chi \bigl (|u(r,\theta )|\bigr )d\theta = O(1),\quad \int \limits _0^{2\pi }\psi \bigl (|v(r,\theta )|\bigr )d\theta \neq O(1). \]
2) Aus dem Bestehen der Beziehung \[ \int \limits _0^{2\pi }\log ^{+}\limits |f(re^{i\theta })|d\theta =O(1) \] für \(r\to 1\) folgt für eine in \(|z|<1\) reguläre Funktion \(f(z)\) die Existenz des \(\lim \limits _{r\to 1}f(re^{i\theta })\) für fast alle \(\theta \) (Ostrowski, F. u. R. Nevanlinna). Dagegen zeigen die Verf.: (a) Zu jeder Funktion \(\chi (t)\) der in 1) genannten Art gibt es eine Funktion \(f(z)\), für die bei \(r\to 1\) \[ \int \limits _0^{2\pi }\chi \bigl (\log ^+\limits |f(re^{i\theta })|\bigr ) d\theta = O(1) \] gilt, obwohl \(\lim \limits _{r\to 1} f(re^{i\theta })\) für fast alle \(\theta \) nicht existiert. (b) Zu jeder reellen Funktion \(\omega (r)\) \((0\leq r<1)\), die für \(r\to 1\) gegen \(+\infty \) strebt, gibt es eine Funktion \(f(z)\), für die bei \(r\to 1\) \[ \int \limits _0^{2\pi }\log ^+\limits |f(re^{i\theta })|d\theta = O\bigl (\omega (r)\bigr ) \] gilt, obwohl \(\lim \limits _{r\to 1} f(re^{i\theta })\) für fast alle \(\theta \) nicht existiert.

Citations:

JFM 58.0333.*
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