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Tourbillons, corpuscules, ondes avec quelques préliminaires sur le rôle des opérateurs en physique théorique. (French) JFM 58.1246.03
Die Stokessche Formel im \(R_3\) gestattet die Beantwortung der Frage, welche Flächen zu einem vorgegebenen System unendlich-dünner Kanäle gehören, derart, daß die von einem Kanal ausgestanzten Flächenelemente alle gleich sind. Zunächst löst Verf. dieses Problem für die von den Flächen \[ \frac {y}{x} = \text{const}, \;z = \text{const} \] begrenzten, von der \(z\)-Achse abstoßenden, kegelförmigen Kanäle; es führt auf eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung, deren vollständiges Integral durch Schraubenflächen gegeben wird. Die gleiche Fragestellun für die von einem Punkte \(O\) ausgehenden, von den Flächen \[ \frac {y}{x} = \text{const}, \;\frac {z}{\sqrt {x^2+y^2}} = \text{const} \] begrenzten Elementarkegel führt zu Flächen, die schon von Vincensini (Annales Toulouse (3) 23 (1931), 61-89; F. d. M. \(57_{\text I}\), 886) betrachtet wurden. Umgekehrt kann man nach Bestimmung einer solchen Flächenfamilie nach denjenigen Systemen von Kanälen fragen, die aus allen Flächen gleiche Elemente ausschneiden. Die analytischen Formeln nehmen bei Einführung geeigneter homogener Flächengleichungen besonders elegante Gestalt an. Ist \(f(x,y,z)=1\) mit \(f\) homogen von erster Ordnung die Gleichung einer Fläche \(S\), bestimmt man \(N\) aus der Gleichung \[ \frac {\partial N}{\partial z} = f^{-3} \cdot \sqrt {f^2_x+f^2_y+f^2_z} \] und die Fläche \(\sigma \) aus \(2N+1=0\), so kann jedes Flächenstück auf \(S\) dadurch ausgemessen werden, daß man es von \(O\) aus auf \(\sigma \) und dann die Kontur senkrecht auf die \((x,y)\)-Ebene projiziert und den ebenen Inhalt dieser Projektion bestimmt. Die Anwendung aufs Ellipsoid wird durchgeführt. Analoge Fragestellungen sind für allgemeinere Integrale als das Flächenintegral möglich. Die Ergebnisse lassen sich physikalisch in der Theorie der Wellenfortpflanzung deuten.
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Full Text: DOI Numdam EuDML