×

zbMATH — the first resource for mathematics

Recherches sur la courbure des surfaces dans des espaces à \(n\) dimensions à courbure constante. I. () JFM 58.1254.01
Spisy Brno 1932, Nr. 165, 22 p (1932).
Verf. untersucht die Flächen in einen \(S_n\) konstanter Krümmung; er stützt sich dabei auf die Betrachtung der Indikatrixkurven der Normalkrümmungen der verschiedenen Ordnungen \(k(\geq 1)\); diese Kurven bestehen aus den Endpunkten der entsprechenden Vektoren der (\(k\)-ten) Normalkrümmung bezüblich der Kurven, die auf der Fläche von dem allgemeinen Punkt \(M\) nach allen möglichen Richtungen ausgehen. Verf. beweist, daß diese Indikatrizen für eine allgemeine Fläche im \(S_n\) geschlossene rationale Kurven sind. Dann betrachtet er den Fall, in dem die Indikatrizen in jedem Punkt \(M\) Kreise mit Mittelpunkt \(M\) sind für alle Werte von \(k\) mit \(1\leq k \leq m\) (mit festem \(m\leq \frac {n}{2}\)). Dann sind für \(k\leq m\) die \(k\)-oskulierenden Räume \(2k\)-dimensional; Verf. beweist, daß die entsprechenden Flächen existieren und von \(2(n-m-2)\) Funktionen einer Veränderlichen abhängen. Im Falle \(2m+2=n\) kann man, wenn die konstante Krümmung des Raumes positiv ist, die weitere Bedingung stellen, daß die Radien jener Kreise konstant sind; man hat es dann mit den Flächen zu tun, die durch die sphärischen Funktionen von Laplace dargestellt werden und die Verf. in einer anderen Arbeit untersucht hat (1933; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1373).
Zu der vorliegenden Arbeit sind 1935 zwei Fortsetzungen gleichen Titels erschienen (s. F. d. M. \(65_{\text{II}}\), 1443).