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Geodesics on a two-dimensional Riemannian manifold with periodic coefficients. (English) JFM 58.1256.01
Die geodätischen Linien auf dem Torus und auf etwas allgemeineren Rotationsflächen vom Zusammenhang des Torus sind von Bliss (1902; F. d. M. 33, 670 (JFM 33.0670.*)) und Kimball (1930; F. d. M. \(56_{\text I}\), 600) untersucht worden. Verf. zeigt, daß man auf beliebigen Flächen, die dem Torus homöomorph sind, zu den gleichen Ergebnissen gelangt. Durch Übergang zur universellen Überlagerungsfläche erhält man eine der Ebene homöomorphe zweidimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit \(M\), deren metrischer Fundamentaltensor in einem geeigneten Koordinatensystem doppeltperiodische Komponenten besitzt. Das Hauptergebnis läßt sich dann so aussprechen: Zu jeder geraden Linie (im Sinne der euklidischen Metrik auf \(M\)) gibt es eine geodätische Linie der Klasse \(A\) vom gleichen Typus und umgekehrt. Dabei heißt eine geodätische Linie von der Klasse \(A\), wenn sie auf \(M\) die kürzeste Verbindung je zweier ihrer Punkte ist. Eine Reihe von Sätzen über geodätische Linien der Klasse \(A\), die Morse (1924; F. d. M. 50, 466 (JFM 50.0466.*)) für orientierbare geschlossene Flächen von Geschlecht \(p>1\) bewiesen hat, können auch im vorliegenden Fall aufrecht erhalten werde. Zum Schluß zeigt Verf. durch Angabe eines Beispiels, daß sich die Ergebnisse in dieser Form nicht auf höherdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten verallgemeinern lassen.

Subjects:
Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.
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