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Sur la géométrie pseudo-conforme des hypersurfaces de l’espace de deux variables complexes. I. II. (French) JFM 58.1256.03

Annali di Mat. (4) 11, 17-90 (1932); Annali Pisa (2) 1, 333-354 (1932).
Es handelt sich in dieser umfangreichen Untersuchung um die “pseudokonformen” Eigenschaften der Hyperflächen im \(K_4\), dem Raum zweier komplexer Veränderlicher \(x,y\). (So nennt man nach F. Severi die bei analytischen Transformationen der beiden Veränderlichen invarianten Eigenschaften.) Das Problem der “pseudokonformen Äquivalenz” zweier \(V_3\) in \(K_4\), das Poincaré gestellt hat (1907; F. d. M. 38, 459 (JFM 38.0459.*)), ist kürzlich von B. Segre studiert worden (1931; F. d. M. \(57_{\text I}\), 404).
Segre hat bemerkt, daß, wenn man die nach B. Almer (1922; F. d. M. 48, 1229 (JFM 48.1229.*)) “Hyperplanoide” genannten Hyperflächen des \(K_4\) ausnimmt, jeder anderen analytischen Hyperfläche \(X_3\) des \(K_4 : F(x,y;\bar x, \bar y) = 0\) \((\bar x,\bar y\) konjugiert komplex zu \(x,y\)) eine Kongruenz mit zwei komplexen Parametern \(F(x,y;a,b)=0\) von “charakteristischen Flächen” (so heißen nach T. Levi-Civita die durch eine analytische Beziehung zwischen \(x\) und \(y\) darstellbaren Flächen des \(K_4\)) zugeordnet werden kann, und zwar invariant gegenüber pseudokonformen Transformationen. Jedem Punkt \(x_0,y_0\) der Hyperfläche \(X_3\) von \(K_4\) ist eine charakteristische Fläche \(F(x,y;\bar x_0, \bar y_0)=0\) durch diesen Punkt zugeordnet; diese Flächen bestehen aus “Planarpunkten” (“punti planari”, nach E. E. Levi), d. h. sie haben ein doppeltes konjugiertes System von Linien, die B. Segre “bicharakteristische Linien” nennt. Entweder durch eine Abbildung der \(X_3\) auf einen euklidischen \(R_3\), in dem die zu den “Bicharakteristiken” homologen Kurven ein 2-Gewebe bilden (Segre), oder indem man die Gesamtheit der \(X_3\) zugeordneten charakteristischen Flächen als eine komplexe Kongruenz von komplexen ebenen Kurven deutet (Cartan), sieht man, wie der \(X_3\) des \(K_4\), wenn sie kein Hyperplanoid ist, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung \(y'' = \omega (x,y,y')\) zugeordnet ist. Für die pseudokonforme Äquivalenz zweier solcher \(X_3\) in \(K_4\) ist esnotwendig, daßsich die zugeordneten Differentialgleichungen mittels eine analytischen Punkttransformation ineinander überführen lassen (Segre).
Nachdem Verf. nun im Kap. I in neuer und organischer Durcharbeitung an diese und viele andre schon bekannte Ergebnisse erinnert hat, die sich insbesondere auf den Hyperkegelschnitt des \(K_4\) beziehen (eine der Hyperkugel des \(R_4\) homöomorphe Hyperfläche und daher nach H. Poincaré auch Hypersphäre genannt; ihre Gleichung läßt sich auf die Form \(x\bar x + y\bar y-1=0\) bringen), geht er zur direkten Behandlung der Frage der pseudokonformen Äquivalenz zweier analytischer \(X_3\) im \(K_4\) über, wobei er seine allgemeine Methode der Äquivalenz benutzt (1908; F. d. M. 39, 206 (JFM 39.0206.*)). In Kap. II behandelt und löst er vollständig das Problem der Bestimmung der Hyperflächen (immer unter Ausschlußder Hyperplanoide), die eine transitive Gruppe von pseudokonformen Transformationen zulassen; es werden nämlich die Typen von Mannigfaltigkeiten ermittelt, denen jene vom Standpunkt der pseudokonformen Geometrie aus im großen äquivalent sind. (Vgl. die Tabellen auf S. 70, die sich auf die beiden Fälle beziehen, in denen die \(X_3\) der Hypersphäre lokal äquivalent ist oder nicht.)
In Kap. III gelangt Verf. schließlich, indem er einer bestimmten \(X_3\) des \(K_4\) ein System von acht kovarianten Pfaffschen Formen zuordnet, zu einer Relativinvarianten \(r\) (S. 81), deren Verschwinden die lokale Äquivalenz mit der Hypersphäre ausdrückt; ferner zu neun pseudokonformen Absolutinvarianten (S. 87), mit deren Hilfe sich die effektiven Bedingugnen für (lokale) pseudokonforme Äquivalenz zweier \(X_3\) in \(K_4\) ausdrücken. (Bezüglich der der Hyperkugel lokal äquivalenten Hyperflächen s. auch M. Villa, 1933; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1375.)
Im zweiten, die Kap. IV und V enthaltenden Teil etwickelt Verf. die geometrischen Eigenschaften der Hyperflächen des \(K_4\), die keine Hyperplanoide sind. In Kap. IV zeigt er, wie man (unter Benutzung der in Kap. III eingeführten invarianten Elemente) auf einer Hyperfläche des \(K_4\), die nicht der Hypersphäre lokal äquivalent ist, sowohl eine natürliche metrische Geometrie wie auch gewisse Systeme von invarianten Kurven einführen kann; diese Kurven nennt er Hauptlinien und Krümmungslinien. Er verweilt dann bei dem Spezialfall der Hyperflächen mit einer dreiparametrigen Gruppe pseudokonformer Transformationen.
In Kap. V entwickelt er vorläufig, mit der Methode des beweglichen Bezugssystems, eine Untersuchung der pseudokonformen Geometrie auf der Hyperkugel des \(K_4\), wobei er unter anderem die Differentialgleichungen der Kettenlinien und der Kreise der Hyperkugel in beliebigen krummlinigen Koordinaten gewinnt. Er geht dann zur Betrachtung einer beliebigen Hyperfläche (die kein Hyperplanoid sei) über und zeigt, wie sie als “Raum von hypersphärischem Zusammenhang” aufgefaßt werden kann; daßsie nämlich in der Umgebung jedes Punktes die geometrischen Eigenschaften der Hypersphäre hat und mit einem Gesetz der pseudokonformen Abbildung (Übertragung) zwischen den lokalen Hypersphären, die so zweien ihrer Punkte zugeordnet sind, versehen ist; dieses Übertragungsgesetz ist im allgemeinen nicht integrierbar, hängt also von der Übertragungskurve ab. Dieser hypersphärische Zusammenhang ist mittels gewisser geometrischer Bedingungen intrinsek an die Hyperfläche gebunden, in Abhängigkeit von der pseudokonformen Geometrie des umgebenden \(K_4\); er ist vom besonderen Typus, und Verf. nennt ihn: “normalen hypersphärischen Zusammenhang”. Insbesondere gibt er Veranlassung zur Ausdehnung der Begriffe Kettenlinie und Kreis auf die allgemeinen \(X_3\) des \(K_4\). Als Beispiel charakterisiert Verf. analytisch die Hyperflächen des \(K_4\), deren “Hauptlinien” Kettenlinien sind; oder die, deren “Krümmungslinien” (in dem oben genannten verallgemeinerten Sinn) Kreise sind.

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References:

[1] Poincaré, H., Les fonctions analytiques de deux variables et la représentation conforme, Rend. Circ. Mat. Palermo, 23, 185-220 (1907) · doi:10.1007/BF03013518
[2] Cette dénomination est due àAlmer,Sur quelques problèmes de la théorie des fonctions analytiques de deux variables complexes (« Arkiv. för Math Astr., och Fys. », 17, 1922, n. 7, 70 pages).
[3] Segre, B., Intorno al problema di Poincaré della rappresentazione pseudo-conforme, Rend. Acc. Lincei, 13, I, 676-683 (1931)
[4] A. Tresse,Détermination des invariants ponctuels de l’équation différentielle ordinaire du second ordre y″=ω(x, y, y′) (« Preisschr. Fürstlich Jablon. Ges. », Leipzig, Hirzel, 1896).
[5] Cartan, E., Les sous-groupes des groupes continus de transformations, Ann. Éc. Normale, 25, 57-194 (1908)
[6] Cf. le second mémoire cité (3) deB. Segre.
[7] Surfacegénératrice, d’aprèsAlmer (loc. cit. (2)).
[8] Loc. cit. (2), p. 6.
[9] Levi, E. E., Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse, Annali di Mat., 17, 61-87 (1910)
[10] Cartan, E., Groupes simples clos et ouverts et géométrie riemannienne, Journal Math. pures et appl., 8, 28-30 (1929)
[11] Cartan, E., La théorie des groupes finis et continus et l’Analysis situs, Mém. Sc. Math., XLII, 13-13 (1930)
[12] E. Cartan, loc. cit. (15), p. 31.
[13] S. Lie etF. Engel,Theorie der Transformationsgruppen, 2^ième éd., Leipzig et Berlin, Teubner, 1930, III, p. 715. A noter cependant qu’il s’agit ici de groupes à paramètres réels.
[14] Loc. cit. (17), I, Kap. 6.
[15] Cette hypersurface a été rencontrée par E. etH. Cartan (« Comptes-Rendus », 192, 1931, p. 710). VoirHenri Cartan,Sur les transformations analytiques des domaines cerclés et semi-cerclés bornés (« Math. Annales », 106, 1932, pp. 540-573).
[16] On applique la formule \(sh\frac{\delta }{2} = \frac{d}{{2\sqrt{yy'} }} \) ,d désignant la distance euclidienne des deux points de coordonnées rectangulaires (x, y) et (x′, y′). VoirE. Cartan,Leçons sur la géométrie projective complexe (Paris, Gauthier-Villars, 1931, p. 85).
[17] S. Lie etF. Engel,Theorie der Transformationsgruppen (17), III, p. 94.
[18] Voir, pour la notion de covariant linéaire et le calcul extérieur,E. Cartan,Leçons sur les invariants intégraux (Paris, Hermann, 1922).
[19] E. Cartan,Leçons sur les invariants intégraux (21), pp. 99-100. · Zbl 0212.12501
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