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Sur l’existence de régions l’instabilité en dynamique. (French) JFM 58.1274.02

Die Bewegungen eines mechanischen Systems von zwei Freiheitsgraden bei konstanter Gesamtenergie sind durch \[ \frac {dp}{dt} = - \frac {\partial H(p,q,t)}{\partial q}, \;\frac {dq}{dt} = \frac {\partial H(p,q,t)}{\partial p} \] gegeben. Die Variable \(t\) läßt sich in der Umgebung einer periodischen Bewegung als Winkelvariable der Periode \(2\pi \) auffassen und \(H\) als periodische Funktion dieser Variabeln. Die periodische Bewegung entspricht dann der Trajektorie \(p=q=0\) im \((p,q,t)\)-Raum.
Versteht man unter \[ p(p_0,q_0,t), q(p_0,q_0,t) \] die Koordinaten eines Punktes zur Zeit \(t\), der zur Zeit 0 die Koordinaten \(p_0,q_0\) hat, und setzt man \[ \begin{aligned} p_1 &= p(p_0,q_0,2\pi )=\varphi (p_0,q_0),\\ q_1 &=q(p_0,q_0,2\pi ) = \psi (p_0,q_0), \end{aligned} \] so werde allgemein mit \(T\) die Transformation \[ p_1 = \varphi (p,q), \;q_1 = \psi (p,q) \] bezeichnet. Nach Poincaré (Méthodes nouvelles de la mécanique céleste T. III, Paris 1910) erweist sich die periodische Bewegung \(p=q=0\) dann und nur dann als stabil, wenn es um \(p=q=0\) beliebig kleine invariante Kurven \(f\) gibt. Es können im nichtintegrablen Fall, wie Verf. zeigt, drei Fälle eintreten
1) Es gibt nur die Kurve \(p=q=0\) (Instabilität).
2) Die Kurven \(f\) entsprechen einem vollen Parameterintervall.
3) Die Kurven \(f\) entsprechen nicht einem vollen Parametrintervall, so daßes zwei invariante, den Parameterwerten \(\tau _1\) und \(\tau _2\) entsprechende Kurven \(f_1\) und \(f_2\) gibt, während Parameterwerten \(\tau \) aus \(\tau _1<\tau <\tau _2\) kein invariante Kurve entspricht.
Verf. zeigt, daßsolche nach Fall (3) möglichen ringförmigen Instabilitätsgebiete für dynamische Systeme, bei denen \(T\) analytisch ist und bei denen alle partiellen Ableitungen von \(H\) stetig sind, tatsächlich existieren.

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Full Text: Numdam EuDML