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Über die Untergruppen der freien Gruppen. II. (German) JFM 59.0142.03
In Fortführung des unter dem gleichen Titel erschienenen Aufsatzes (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 134) beschäftigt sich Verf: (1) mit den charakteristischen Unteregruppen einer freien Gruppe, (2) mit den vollinvarianten Untergruppen, d. h. für jeden Operatorenbereich zulässigen Untergruppen, und (3) mit den Anzahlen der Erzeugenden, der definierenden Relationen und der freien Erzeugenden einer Untergruppe. Vollinvariante Untergruppen sind stets charakteristische Untergruppen; jedoch gilt nicht das Umgekehrte.
Von den Sätzen seien erwähnt: Für eine freie Gruppe \(\mathfrak {F_1}\) sei \(\mathfrak {F_1,F_2,\ldots }\) eine unendliche Folge von Gruppen, wobei \(\mathfrak {F_{i+1}}\) immer echte charakteristische Untergruppe von \(\mathfrak {F_i}\) ist; dann besitzt der Durchschnitt der Folge die Ordnung \(1\). Enthält eine charakteristische Untergruppe einer freien Gruppe \(\mathfrak {F}\) die Kommutatorgruppe als Untergruppe, so wird die Gruppe durch die Kommutatoren und die \(m\)-ten Potanzen aller Elemente von \(\mathfrak {F}\) erzeugt. Jede vollinvariante Untergruppe einer freien Gruppe \(\mathfrak {F}\), die keine Potenzgruppe \(z^m\) enthält, ist in der Kommutatorgruppe enthalten, und sie besitzt auch “\(z\)-Wörter” \[ z_1^{p_1} z_2^{q_1} \ldots z_1^{p_k} z_2^{q_k}, \] wobei \( \sum p_i = \sum q_i = 0\), alle \(p_i\) und \(q_i\) von \(0\) verschieden und \(k > 1\). Erzeugen endlich viele Elemente \(b_1,b_2,\ldots,b_m\) einer freien Gruppe eine Untergruppe \(\mathfrak {U}\), und ist weiter \(q\) die minimale Mächtigkeit eines Systems von erzeugenden Relationen der \(b_i\), so besitzt \(\mathfrak {U}\) die Anzahl von \(m-q\) freien Erzeugenden.

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