×

zbMATH — the first resource for mathematics

A contribution to the theory of groups of prime-power orders. (English) JFM 59.0147.02
Die Arbeit bringt eine ausführliche Untersuchung der Gruppen \(G\) von Primzahlpotenzordnung \(p^n\) (kurz: \(p\)-Gruppen). (1) Ist \(d\) die Minimalanzahl von Erzeugenden von \(G,\;a\) die Ordnung der Automorphismengruppe, \(b\) die Anzahl verschiedener Relationsysteme, die bei Zugrundelegung von \(d\) Erzeugenden \(G\) definieren, so ist \[ a \cdot b = p^{d(n-d)}\left (p^d - 1\right )\left (p^d - p\right ) \ldots \left (p^d - p^{d-1}\right ), \] was eine neue (im allgemeinen nicht mehr verbesserungsfähige) Schranke für die Ordnung \(a\) der Automorphismengruppe gibt. Mit Hilfe eines besonderen Abzählverfahrens werden verschiedene bekannte Anzahlsätze, sowie eine Verallgemeinerung einheitlich bewiesen. - (2) Der Kommutator zweier Elemente \(P\) und \(Q\) wird mit \((P,Q)\) bezeichnet; durchläuft \(P\) eine Gruppe \(H,\;Q\) eine Gruppe \(K\), so wird die durch alle \((P,Q)\) erzeugte Gruppe mit \((H,K)\) bezeichnet. Für kompliziertere Kommutatorbildungen wird ene einfache Bezeichnung eingeführt. Ist \(H_1 = G,\;H_i = (H_{i-1},G)\), so heißt \[ G = H_1 \supset H_2 \supset \cdots \supset H_c \supset H_{c+1} = E \] die untere Zentralreihe (lower central series). Die Reihe \[ E = Z_0\subset Z_1 \subset \cdots \subset Z_c' = G, \] wo \(Z_{i+1}/Z_i\) das Zentrum von \(G/Z_i\) ist, heißt obere Zentralreihe (upper central series). Schließlich wird die Reihe \[ G = \Theta _0 \supset \Theta _1 \supset \cdots \supset \Theta _\delta \supset \Theta _{\delta +1} = E \] die abgeleitete Reihe genannt. Es gilt dann \(c = c' \geqq z^\delta \); \(c\) heißt die Klasse von G. Die Ordnung von \(G\) ist mindestens \(p^{2^\delta + \delta }\). Die Ordnung einer invarianten Untergruppe, die nicht in \(Z_\alpha \) enthalten ist, der Index einer invarianten Untergruppen, die \(H_\alpha \) nicht enthält, wie auch der Index einer beliebigen Untergruppe, die \(\Theta _\alpha \) nicht enthältm sind größer als \(p^\alpha \). Eine große Reihe verwandter Sätze wird bewiesen. - (3) Die untere Zentralreihe \(H_1,\ldots \) (wie auch die beiden andern genannten Reihen) läßt sich für beliebige Gruppen (nicht nur für \(p\)-Gruppen) definieren; natürlich braucht sie im allgemeinen nicht mit dem Einheitselement abzubrechen. Es wird nun eine Formel angegeben, die gestattet, die Potenzen des Produkts zweier Elemente durch die Potenzen der Elemente und ihrer (gewöhnlichen un höheren) Kommutatorelemente modulo einem beliebigen \(H_\alpha \) auszudrücken. Für \(p\)-Gruppen ergeben sich spezielle Eigenschaften der auftretenden Exponenten. - (4) Eine \(p\)-Gruppe wird regulär genannt, wenn sich jede \(p^\alpha \)-te Potenz des Produkts zweier Elemente von dem Produkt der \(p^\alpha \)-ten Potenzen der beiden Elemente nur durch \(p^\alpha \)-te Potenzen von Elementen aus der Kommutatorgruppe der durch die beiden Elemente erzeugten Untergruppe unterscheidet (mit dem Begriff der regulären Permutationsgruppe hat dieser Begriff nicht zu tun). Zu den regulären \(p\)-Gruppen gehören (a) die von kleinerer Ordnung als \(p^p\); (b) die von kleinerer Klasse als \(p\); (c) die, für die \(p\) größer ist als die Klasse jeder durch zwei Elemente erzeugten Untergruppe. Beispiel einer irregulären Gruppe ist die Sylow-gruppe der Ordnung \(p^{p+1}\) in der symmetrischen Gruppe des Grades \(p^2\). In einer regulären Gruppe ist die Ordnung eines Produkts höchstens gleich dem Maximum der Ordnungen seiner Faktoren. Die \(p^\alpha \)-ten Potenzen in einer regulären Gruppe bilden eine charakterische Untergruppe \(\Psi _\alpha \); die Elemente, deren Ordnungen höchstens \(p^\beta \)sind, bilden eine charakteristische Untergruppe \(\Omega _\beta \). Diese Definitionen geben Anlaß zu zwei weiteren Untergruppenreihen gleicher Länge, die auf eine Reihe von neuen Gruppeninvarianten führen. Diese Invarianten bilden den “Typus”, in genauer Verallgemeinerung des Begriffs aus der Theorie der abelschen \(p\)-Gruppen. Es lassen sich in einer regulären Gruppe Erzeugende angeben, deren Eigenschaften in strikter Analogie zu denen einer Basis im abelschen Fall stehen. Es werden zahlreiche interessante Sätze über die Typusinvarianten, die Gruppen \(\Psi _\alpha \) und \(\Omega _\beta \), und über ihre Zusammenhänge mit den Gruppen der oben genannten Reihen aufgestellt.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI