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On the combination of subalgebras. (English) JFM 59.0154.02
Verf. entwickelt eine sehr allgemeine Theorie, die zu aus einem Minimum an Voraussetzungen eine Reihe von kombinatorischen Problemen der abstrakten Algebra auf einheitlichem Wege zu lösen gestattet. Der Fundamentalbegriff ist das “Gitter” (lattice). Das endliche Gitter ist definiert als ein System von Dingen mit zwei Verknüpfungen \((,)\) und \(\cap \) und den folgenden vier Axiomen: (I) Mit \(A\) und \(B\) gehören auch \((A,B)\) und \(A \cap B\) dem System an. (II) Gehört \(A\) dem System an, so ist \[ (A,A) = A \cap A = A. \] (III) Die Verknüpfungen \((,)\) und \( \cap \) sind kommutativ und assoziativ. (IV) Aus \((A,B) = A\) folgt \(A \cap B = B\) und umgekehrt. - Nun werden schrittweise neue Axiome hinzugenommen und die so spezialisierten Gitter untersucht. Von besonderem Interesse ist das Axiom (V): Aus \((A,C) = A\) folgt \[ A \cap (B,C) = (A \cap B,C). \] Die Ergebnisse der Theorie können hier nicht aufgezählt werden. Erwähnt seien nur der Beweis des Jordan-Hölderschen Kompositionsreihensatzes und ein einfacher Beweis unter gleichzeitiger Verallgemeinerung für einen Satz von Remak über Untergruppen direkter Produkte von drei Faktoren (J. f. M. 166 (1931), 65-100; F. d. M. \(57_{\text{I}}\)). - Unendliche Gitter, die auch interessante Ergebnisse zu liefern versprechen, werden eingeführt, aber nicht ausführlich diskutiert. - In einer demnächst an gleicher Stelle erscheinenden Zusatznote macht Verf. darauf aufmerksam, daß seine Untersuchungen sich zum Teil mit älteren (Dedekind) decken, was ihm bei der Abfassung der vorliegenden Arbeit entgangen war.

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