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Die Struktur diskret bewerteter Körper. (German) JFM 59.0154.03

Um einen Überblick über alle möglichen Strukturen bewerteter Körper zu erhalten, kann man sich im wesentlichen auf die perfekten Körper beschränken: deren Elementemenge auf Grund der Bewertung perfekt ist. Ein archimedisch bewerteter Körper, d. h. ein solcher, bei dem auch Werte \( > 1\) bei den Vielfachen der Eins vorkommen, hat, wenn er perfekt ist, die Struktur des Körpers der reellen oder komplexen Zahlen: ist einem der beiden analytisch isomorph: isomorph auch in bezug auf die Größenbeziehung der Werte (Ostrowski, 1917; F. d. M. 46, 170 (JFM 46.0170.*)). Bei nichtarchimedisch bewerteten Körpern ist es oft zweckmäßig, die Logarithmen der Bewertung nach einer Basis \( < 1\) als “Exponentenbewertung” einzuführen. Man hat dann im Körper \(K\) den “Bewertungsring” \(B\) der Elemente mit nichtnegativem Exponentenwert und in ihm das Primideal \(\mathfrak {p}\) der positiv Bewerteten. \(\mathfrak {p}\) ist das einzige Primideal in \(B\) und \(K\) der Quotientenkörper von \(B\).
Hier wird nun der besonders wichtige Typus der diskret bewerteten Körper betrachtet, bei dem die Exponentenwerte keinen Häufungspunkt aufweisen. In diesem Falle sind die Ideale von \(B\) die Potenzen von \(\mathfrak {p}\), und dann kann die Bewertungsbasis so gewählt werden, daß der Wert eines Elementes der Exponent der aus ihm erzeugten Potenz von \(\mathfrak {p}\) ist. Jedes Element läßt sich dann in eine \(\pi \)-adische Reihe \[ \varrho _a \pi ^a + \varrho _{a+1} \pi ^{a+1} + \ldots \] entwickeln, wo \(\pi \) ein Element mit dem Wert \(1\) ist und die \(\varrho \) einem festen Repräsentantensystem \(\mod {B/\mathfrak {p}}\) angehören. Dieses System kann als Körper gewählt werden, wenn \(B/\mathfrak {p}\) dieselbe Charakteristik wie \(K\) hat. Dann ist die Struktur von \(K\) schon durch die von \(B/\mathfrak {p}\) bestimmt, nämlich \(K\) ist analytisch isomorph dem nach Potenzen von \(x\) bewerteten Potenzreihenkörper in \(x\) mit Koeffizienten aus \(B/\mathfrak {p}\). Im charakteristikungleichen Fall, wo \(K\) die Charakteristik \(0\) hat und \(B/\mathfrak {p}\) die Charakteristik \(p\), ist für \((p) = \mathfrak {p}\) die Struktur von \(K\) auch wieder durch die von \(B/\mathfrak {p}\) bestimmt als \(p\)-adisch bewerteter perfekter Körper. Für \((p) = \mathfrak {p}^n\) hingegen ist \(K\) ein Körper \(n\)-ten Grades über einem solchen \(p\)-adisch bewerteten Körper mit einer Gleichung \[ \pi ^n = p\left (\alpha _0 + \alpha _1 \pi + \ldots + \alpha _{n-1} \pi ^{n-1}\right ),\;\alpha _0 \not \equiv 0\;(p). \] Es ist hiermit eine konkrete algebraische Aufgabe gelöst: die diskret bewerteten Körper allgemeinster Struktur durch wenige bekannte Typen zu beschreiben.

Citations:

JFM 46.0170.*
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Full Text: Crelle EuDML