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Recent progress on Waring’s theorem and its generalizations. (English) JFM 59.0177.01

Im ersten Teil der Arbeit beschäftigt sich Verf. mit der Darstellung “kleiner” Zahlen als Summe von \(n\)-ten Potenzen. Es sei \( 3^n = q 2^n + r\), \(0 < r < 2^n\); dann benötigt man zur Darstellung der Zahl \(P = q 2^n - 1\) offenbar \(I = q + 2^n - 2\) \(n\)-te Potenzen. \(I\) \(n\)-te Potenzen reichen zur Darstellung aller Zahlen unterhalb \(\lambda \) aus, wenn \(\lambda \), wie folgt, definiert wird: Man setze \( 2^n = (2^n - r)Q + R\), \(Q \leqq R < 2^n - r\), und \(\lambda = (Q + R)3^n\), falls \(2^n \geq q + r + R\), aber \( \lambda = (2^n + Q - q - r)3^n\), falls \(2^n < q + r + R\). Es erscheint wahrscheinlich, daß \(I\) \(n\)-te Potenzen zur Darstellung aller Zahlen ausreichen. Oberhalb der Zahl \(P\) tritt eine starke Reduktion der zur Darstellung nötigen Anzahl von \(n\)-ten Potenzen ein; z. B. reichen \[ 2^n - 2 - k(2^n - r) + q + kq + k \] \(n\)-te Potenzen im Intervall \(k3^n \leq x < \lambda \) auf. Diese und ähnliche Ergebnisse machen es wahrscheinlich, daß die bisher bekannten asymptotischen Resultate noch wesentlich verbessert können.
Es sind eine ganze Reihe Waringscher Theoreme asymptotischen Charakters bekannt, die aussagen, daß eine gewisse Anzahl \(n\)-ter Potenzen zur Darstellung aller Zahlen oberhalb einer (gewöhnlich sehr großen) Zahl \(C\) ausreicht. Verf. gelingt es im zweiten Teil der Arbeit, für eine Reihe von Fällen bis zu dieser Zahl \(C\) vorzudringen. Dieses geschieht mit Hilfe des folgenden “Aufsteigungssatzes: Ist jede Zahl \(x\) des Intervalls \(l < x \leq g\) Summe von \(k\) \(n\)-ten Potenzen, und ist \[ m^n - (m - 1)^n < g - l, \] so ist jede Zahl des Intervalls \(l < x \leq g + m^n\) Summe von \(k + 1\) \(n\)-ten Potenzen. Verf. erhält so folgende “universelle” Waringsche Sätze: Jede positive ganze Zahl ist Summe von 35 vierten Potenzen, bzw. von 54 fünften, 160 sechsten, 259 siebenten, 575 achten, 981 neunten, 2421 zehnten, 10711 zwölften Potenzen. Hierdurch sind die bisher bekannten, insbesondere die auf rein algebraischem Wege gewonnenen Resultate wesentlich verbessert.
Im dritten Teil der Arbeit gibt Verf. einen ausführlichen Überblick über die Entwicklung und die Literatur des Waringschen Problems und seiner Verallgemeinerungen.

MSC:

11P05 Waring’s problem and variants
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