×

zbMATH — the first resource for mathematics

The zeta-function of Riemann: Further developments of van der Corput’s method. (English) JFM 59.0204.01
Die beiden Hauptergebnisse der Arbeit sind die Abschätzungen \[ \zeta \Bigl (\frac 12 + it\Bigr )=O\Bigl (t^{^{\tfrac {229}{1392}}}\Bigr ) \] und \[ \zeta (\sigma + it) = O\Bigl (t^{^{\tfrac {1}{4Q-2}\cdot \tfrac {240Qq-16Q+128}{240Qq-15Q+128}}}\Bigr ) \] mit \(Q=2^{q-1}\) für alle Vertikalgeraden \[ \sigma = 1-\frac {q+1}{4Q-2}\quad (q=3,4,\dots ). \] In der Methode schließt sich die Arbeit eng an die Arbeit von van der Corput (Math. Ann. 87 (1922), 39-65; F. d. M. 48, 181 (JFM 48.0181.*)) an, vereinfacht und verschärft aber die dortigen Ansätze. Ähnlich wie dort van der Corput betrachtet Verf. gewisse Exponentensysteme, die er in folgender Weise definiert: Zwei Zahlen \(k\) und \(l\) aus den Intervallen \(0\leq k \leq \frac 12\); \(\frac 12\leq l \leq 1\) heißen ein “exponent pair” \((k,l)\), wenn zu jedem \(s>0\) eine ganze Zahl \(r\geq 5\) und eine Zahl \(c\) aus dem Intervall \(0<c<\frac 12\) existiert, so daß \[ \sum _{a\leq n \leq b} e^{2\pi i f(n)} = O(z^ka^l) \] in bezug auf \(s\) und \(u\) gilt, wenn \[ u>0,\quad 1\leq a<b<au,\quad y>0,\quad z=ya^{-s}>1 \] und \(f(n)\) eine \(r\)-mal in \(\langle a,b\rangle \) differenzierbare reelle Funktion mit \[ |f^{(p+1)}(n) - (-1)^p ys(s+1)\dots (s+p-1)n^{-s-p}| <cys(s+1)\dots (s+p-1)n^{-s-p} \] für \(a\leq n \leq b\) und \(0\leq p \leq r-1\) ist. Verf. beweist dann, daß mit \((\varkappa,\lambda )\) zugleich auch \((k,l)\) ein “exponent pair” ist, wenn entweder \[ \begin{aligned} k&=\frac {\varkappa }{2(1+\varkappa )}\quad \text{und}\quad l=\frac 12+\frac {\lambda }{2(1+\varkappa )}\quad \text{oder}\tag{1}\\ k&=\lambda -\frac 12,\quad l=\varkappa +\frac 12\quad \text{und}\quad 2k+l\geq 1\quad \text{oder}\tag{2}\\ k&=\frac {\varkappa }{Q+2(Q-1)\varkappa }\quad \text{und}\quad l=1-\frac {1-\lambda +q\varkappa }{Q+2(Q-1)\varkappa }\tag{3} \end{aligned} \] bei ganzem \(q\geq 1\) und mit \(Q=2^q\) oder \[ k=\frac 12 - \frac {1-\lambda +q\varkappa }{Q+2(Q-1)\varkappa }\quad \text{und}\quad l=\frac 12 + \frac {\varkappa }{Q+2(Q-1)\varkappa }\tag{4} \] mit ganzem \(q\geq 1\) und \(Q=2^q\) gilt. Der Beweis dieser Tatsachen beruht auf Hilfssätzen, die zum Teil eng mit von Titchmarsh in den vorstehend besprochenen Arbeiten benutzen Sätzen zusammenhängen, und von denen einer aus der erwähnten Arbeit von van der Corput (Lemma 7) herangezogen wird.
Aus den Sätzen (1) bis (4) ergeben sich die angeführten Hauptergebnisse über die Zetafunktion. (IV 4, 6A.)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI