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Über die Verteilung der quadratischen Reste. (German) JFM 59.0210.01
Verf. knüpft an Arbeiten von A. Brauer[Über Sequenzen von Potenzresten I, II. Sitzungsberichte Akad. Berlin 1928, 9–16 (1928; JFM 54.0169.02); 1931, No. 19, 329–341 (1931; Zbl 0002.18201, JFM 57.0188.03); Über die Verteilung der Potenzreste; M. Z. 35, 39-50 (1932; Zbl 0003.33903, JFM 54.0169.02)] und andern an. Er gelangt zu folgenden Ergebnissen:
(1) Bei einer ungeraden Primzahl \(p\) und einer ganzen Zahl \(x\) aus \(0<x\leq p-1\) gilt für die Anzahl \(A(x,p)\) der Zeichenwechsel in der Reihe \[ \Bigl (\frac 1p\Bigr ),\Bigl (\frac 2p\Bigr ),\cdots,\Bigl (\frac {x}{p}\Bigr ) \] von Legendreschen Symbolen: \[ A(x,p)=\frac {x}2 + \theta p^{\tfrac 23}\log p + 4\theta p^{\tfrac 23} \] mit \(|\theta |<\dfrac {3}{\pi }\).
(2) Mit \(P_{\nu }\) sei die Kloostermansche Summe \[ \sum \limits _{h=0}^{p-1}\Bigl (\frac {h(h+1)}{p}\Bigr )e^{\tfrac {2\pi i}{p} \nu h} \] bezeichnet, und es sei \(\nu \not \equiv 0\pmod p\). Dann ist mit \(|\theta '|<3\): \[ |P_{4\nu }\leq \theta '+2\pi \operatornamewithlimits {Max}_{1\leq x<p} \biggl |\sum \limits _{h=1}^x \biggl (\frac {h^2-4\nu ^2}{p}\biggr )\biggr |. \]
(3) In verschärfter Fassung auf Grund eines Ergebnisses von Mordell (vgl. das folgende Referat), die Verf. in einem nachträglichen Zusatz vom April 1933 angibt: \(f_1(x)\) und \(f_2(x)\) seien \(\mod p\) verschiedene quadratische Formen in \(x\) mit nicht durch \(p\) teilbaren Diskriminanten. \(\varepsilon _1\) und \(\varepsilon _2\) seien feste Zahlen, deren jede entweder \(+1\) oder \(-1\) sei. Dann läßt sich die Anzahl der ganzen \(x\) aus \(0\leq x<p\) mit \[ \Bigl (\frac {f_1(x)}{p}\Bigr ) = \varepsilon _1\quad \text{und}\quad \Bigl (\frac {f_2(x)}{p}\Bigr ) = \varepsilon _2 \] für \(p>5\) in der Form \[ N(\varepsilon _1,\varepsilon _2;p) = \frac {p}4 + O(p^{\tfrac 23}) \] abschätzen.

MSC:
11A15 Power residues, reciprocity
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] A. Brauer, Sitzungsber. d. preuß. Ak. d. Wiss. (1928), S. 9-16; (1931), S. 329-341; Math. Zeitschr.35 (1932), S. 39-50. H. Davenport, Journ. of Lond. math. Soc.6 (1931), S. 49-54;7 (1932), S. 117-121. K. Dörge, Jahresber. d. D. Math. Vgg.38 (1929), S. 41-49. H. Hopf, Math. Zeitschr.32 (1930), S. 222-231.
[2] Sequenzen sollen auch die Länge 1 haben können.
[3] H. Salié, Math. Zeitschr.34 (1932) S. 101. Ersetze in Gl. (51)h durch 4h+2, so entsteht \(f(\varepsilon ^v ) = S(1, v^2 ; p) = \varepsilon ^{2v} P_{4 v} ,\varepsilon = e^{\frac{{2\pi i}}{p}} .\)
[4] Math. Zeitschr.36 (1933), S. 278.
[5] Vgl. die ähnlichen Ansätze bei H. Davenport, l. c. 1) A. Brauer, Sitzungsber. d. preuß. Ak. d. Wiss. (1928), S. 9-16; (1931), S. 329-341; Math. Zeischr.35 (1932), S. 39-50. H. Davenport, Journ. of Lond. math. Soc.6 (1931), S. 49-54;7 (1932), S. 117-121. K. Dörge, Jahresber. d. D. Math. Vgg.38 (1929), S. 41-49. H. Hopf, Math. Zeitschr.32 (1930), S. 222-231. und E. Jacobsthal, Crelle Journ.132 (1907), S. 238-245.
[6] l. c. 4) Math. Zeitschr.36 (1933), S. 274 u. 276.
[7] Vgl. H. Davenport, l. c. 1), A. Brauer, Sitzungsber. d. preuß. Ak. d. Wiss. (1928), S. 9-16; (1931), S. 329-341; Math. Zeitschr.35 (1932), S. 39-50. H. Davenport, Journ. of Lond. math. Soc.6 (1931), S. 49-54;7 (1932), S. 117-121. K. Dörge, Jahresber. d. D. Math. Vgg.38 (1929), S. 41-49. H. Hopf, Math. Zeitschr.32 (1930), S. 222-231. S. 53, 1. Formel, die ein Sonderfall von Hilfssatz 2 ist.
[8] l. c. 4), Math. Zeitschr.36 (1933), Gl. (57), S. 275.
[9] l. c. 5).
[10] Man ersetze in (24)x durch ?x?a undb durcha 2?b).
[11] l. c. 10)..
[12] Vgl. Math. Zeitschr.37 (1933), S. 193-209.
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