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Diophantische Approximationen in imaginären quadratischen Zahlkörpern, insbesondere im Körper \(\mathfrak K(i\sqrt 2)\). (German) JFM 59.0217.04

Sei \(D\) eine positive ganze quadratfreie Zahl und \(\mathfrak K\) der Körper von \(\sqrt {-D}\). Es handelt sich um die untere Grenze \(\psi (D)\) aller reellen positiven Zahlen \(\gamma \), für die jede nicht zu \(\mathfrak K\) gehörige komplexe Zahl \(\alpha \) durch unendlich viele Brüche \(\dfrac {p}{q}\) mit ganzen \(p\), \(q\) aus \(\mathfrak K\) mit der Genauigkeit \[ \Bigl |\alpha - \frac {p}{q}\Bigr | < \frac {\gamma }{|q|^2} \] approximierbar ist.
Verf. hatte früher speziell \(\psi (1) = \dfrac 1{\sqrt 3}\), \(\psi (3) = \dfrac 1{\root {4}\of 13}\) bewiesen, und zwar sogar mit “Minimum” statt bloß “untere Grenze”. Hier beweist er, wieder mit sogar “Minimum”, daß \(\psi (2) =\dfrac 1{\sqrt 2}\) ist. Ferner leitet er für \(D\neq 1,3\) allgemein folgende Schranken für \(\psi (D)\) her: \[ \begin{alignedat}{3} 1&\leq \psi (D) &\leq & \frac 2{\pi }\sqrt {2D}\quad &\text{für}&\quad D\equiv 1\mod 4,\\ \frac 1{\sqrt 2}&\leq \psi (D) &\leq & \frac 2{\pi }\sqrt {2D}\quad &\text{für}& \quad D\equiv 2\mod 4,\\ \frac 1{\sqrt 3}&\leq \psi (D) &\leq & \frac 1{\pi }\sqrt {2D}\quad &\text{für}&\quad D\equiv 3\mod 4. \end{alignedat} \] Weiter zeigt er, daß \(\psi (D)\) auch die untere Grenze derjenigen reellen positiven \(\gamma \) ist, für die jede quadratische Form \[ ax^2 +bxy + cy^2\quad (a,b,c\text{ komplex }, \;|b^2-4ac|=D), \] die höchstens einen Linearfaktor in \(\mathfrak K\) hat, unendlich viele ganze \(x\), \(y\) aus \(\mathfrak K\) mit \[ 0<|ax^2+bxy+cy^2|\leq \gamma \sqrt D \] zuläßt.

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References:

[1] FürD=1 undD=3 ist die linke Hälfte der Ungleichung (3), wie man aus (2) ersieht, nicht richtig.
[2] Die analogen Sätze fürD=1 undD=3 finden sich in den in Fußnote1) zitierten Arbeiten.
[3] Analoge Sätze fürD=1 undD=3 finden sich in meiner Arbeit: Eine Abschätzung für die untere Grenze der absoluten Beträge der durch eine reelle oder imaginäre binäre quadratische Form darstellbaren Zahlen. Math. Zeitschr.35 (1932).
[4] Außer fürD=2 gilt das und analog alles Weitere auch, wenn man einfachi statti d und demgemäß später ?1 statt (?1) d schreibt.
[5] Sogar |?|<4/?; aber die bequemere Ungleichung |?|<2 genügt hier.
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