×

zbMATH — the first resource for mathematics

Zur Approximation algebraischer Zahlen. I: Über den größten Primteiler binärer Formen. II: Über die Anzahl der Darstellungen ganzer Zahlen durch Binärformen. (German) JFM 59.0220.01
Math. Ann. 107, 691-730 (1933); 108, 37-55 (1933).
I. Verf. knüpft in der Methode insbesondere an die Siegelsche Arbeit [C. Siegel, Krist. Vid. Selsk. Skr. I, 1921, No. 16, 12 S. (1921; JFM 48.1182.03)] an. Er überträgt die Methode dieser Arbeit auf die \(P\)-adischen Körper vermittels der Bewertung dieser Körper und gelangt in der ersten Arbeit zu folgenden Ergebnissen, wobei für eine \(P\)-adische Zahl \(\alpha |\alpha |_P\) den Wert von \(\alpha \) bedeute und für beliebig ganze rationale \(p\) und \(q\) \[ |p,q|=\max (|p|, |q|) \] gesetzt sei.
(1) Bedeuten \(\zeta,\zeta _1,\zeta _2,\dots,\zeta _t\) je eine reelle, eine \(P_1\)-adische, eine \(P_2\)-adische, …, eine \(P_t\)-adische Nullstelle desselben irreduziblen Polynoms \(f(x)\) mit ganzen rationalen Koeffizienten vom \(\operatorname {Grad} n\geq 3\); sei ferner \(k\geq 1\) und \(\beta ^*\) eine Zahl, die der Ungleichung \(\alpha <\beta ^*\leq n\) genügt, wobei \(\alpha \) das Minimum der Zahlen \(\dfrac {n}{s+1} + s\) für \(s=1,2,\dots,n-1\) bedeutet. Dann besitzt die Ungleichung \[ \operatorname {Min} \Bigl (1,\Big |\frac {p}{q} -\zeta \Bigr |\Bigr )\prod \limits _{\tau =1}^t\operatorname {Min} (1,|p-q\zeta _\tau )|_{P_\tau }\leq k|p,q|^{-\beta ^*} \] höchstens endlich viele Lösungen in Paaren \(p,q\) teilerfremder ganzer rationaler Zahlen.
Vermittels einer Hilfsbetrachtung über die Zerlegung einer irreduziblen Binärform mit ganzen rationalen Koeffizienten höheren als zweiten Grades im Körper der \(P_\tau \)-adischen Zahlen, die sich auf einen Henselschen Stetigkeitssatz gründet [K. Hensel, Theorie der algebraischen Zahlen. Leipzig: B. G. Teubner (1908; JFM 39.0269.01), S. 66–67], führt der zitierte Satz auf den folgenden:
(2) Es bedeuten \(F(x,y)\) eine irreduzible Binärform mit ganzen rationalen Koeffizienten vom \(\operatorname {Grad} n\geq 3\), \(p\) und \(q\) zwei teilerfremde ganze rationale Zahlen, \(P_1, P_2,\dots, P_t\) endlich viele verschiedene Primzahlen und \(Q(p,q)\) das größte Potenzprodukt der Primzahlen \(P_\tau \), das in \(F(p,q)\) aufgeht. Ist dann \(\beta \) eine Konstante \(>\alpha \), wobei \(\alpha \) wie in (1) erklärt ist, so besitzt die Ungleichung \[ \frac {|F(p,q)|}{Q(p,q)}\leq |p,q|^{n-\beta } \] höchstens endlich viele Lösungspaare \(p,q\).
Aus diesen Sätzen werden dann mehrere Folgerungen gezogen, die in den folgenden Satz ausmünden: Hat die Binärform \(F(x,y)\) ganze rationale Koeffizienten und das Polynom \(F(x,1)\) mindestens drei verschiedene Nullstellen, wobei eine etwaige Nullstelle \(x=\infty \) mitzuzählen ist, so wächst der größte Primteiler von \(F(p,q)\) über alle Grenzen, wenn \(p,q\) eine Folge teilerfremder ganzer rationaler Zahlen mit \(|p,q|\to \infty \) durchlaufen.
II. Verf. untersucht unter Heranziehung von Hilfsmitteln aus der ersten Arbeit die Anzahl der Lösungen der betrachteten Ungleichungen. Er gelangt insbesondere zu dem Satz: Zu der irreduziblen Binärform \(F(x,y)\) mit ganzen rationalen Koeffizienten vom \(\operatorname {Grad} n\geq 3\) läßt sich eine positive Zahl \(c_4\) angeben mit der folgenden Eigenschaft: Sind \(P_1,P_2,\dots,P_t\) irgend endlichviele gegebene Primzahlen, so gibt es höchstens \(c_4^{t+1}\) verschiedene Paare \(p,q\) teilerfremder ganzer rationaler Zahlen, für die \(F(p,q)\) allein durch diese Primzahlen teilbar ist.
Ferner ergibt sich: Zu der irreduziblen Binärform \(F(x,y)\) mit ganzen rationalen Koeffizienten vom \(\operatorname {Grad} n\geq 3\) läßt sich eine nur von ihr abhängige positive Zahl \(c_5\) angeben mit folgender Eigenschaft: Ist \(g\) eine ganze rationale Zahl mit hinreichend großem Absolutbetrag, so ist die Anzahl der Darstellungen von \(g\) in der Gestalt \(g=F(p,q)\) mit ganzen rationalen, nicht notwendig teilerfremden Zahlen \(p\) und \(q\) höchstens gleich \[ c_5^{\tfrac {\log |g|}{\log \log |g|}}, \] also insbesondere für jede positive Zahl \(\varepsilon \) von der Größenordnung \[ O(|g|^{\varepsilon }). \]
Als Analogon eines Ergebnisses von T. Nagel [Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 1, 179–194 (1922; JFM 48.0132.04)] für ein Polynom \(f(x)\) mit ganzen rationalen Koeffizienten mit mindestens einer irrationalen Nullstelle, aber mit geringerer Abschätzungsschärfe, ergibt sich ferner: Zu der irreduziblen Binärform \(F(x,y)\) mit ganzen rationalen Koeffizienten vom \(\operatorname {Grad} n\geq 3\) läßt sich eine nur von ihr abhängige positive Zahl \(c_6\) angeben mit folgender Eigenschaft: Ist \(m\) eine genügend große natürliche Zahl, und sind \(p_1,q_1; p_2,q_2;\dots ;p_m,q_m\) \(m\) verschiedene Paare teilerfremder ganzer rationaler Zahlen, so ist die größte Primzahl, die in dem Produkt \[ F(p_1,q_1) F(p_2,q_2)\dots F(p_m,q_m) \] aufgeht, größer als \(c_6\log m\cdot \log \log m\).

MSC:
11J68 Approximation to algebraic numbers
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] A. Thue: Om en general i store hele tal ulmbar ligning, Skrifter udgivne af Videnskabs-Selskabet i Cristiania (1908).
[2] ?: ?ber Annaherungswerte algebraischer Zahlen, Journal f?r die reine und angewandte Mathemtik135 (1909), S. 284-305.
[3] C. Siegel: Approxirn ion algebraischer Zahlen, Math. Zeitschr.10 (1921), S. 173-213. · JFM 48.0163.07
[4] ?: ?ber Niherungswerte algebraischer Zahlen, Math. Annalen81 (1921), S. 80-99.
[5] C. Siegel: ?ber den Thueschen Satz, Videnskapsselskapets-Skrifter (1921), Mat. Naturv. Klasse Nr. 16. · JFM 48.1182.03
[6] K. Hensel: Theorie der algebrakchen Zahlen (1908), Leipzig, B. G. Teubner.
[7] G. P?lya: Zur arithmetischen Untersuchung der Polynome, Math. Zeitschr.1 (1918), S. 143. · JFM 46.0240.04
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.