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Bemerkungen zur vorstehenden Arbeit von Herrn Bochner. (German) JFM 59.0252.02
Die Verf. gehen aus von dem Spezialfall des Ergebnisses der vorstehend besprochenen Bochnerschen Arbeit für Dirichletsche Reihen und beweisen den Satz mit bedeutend abgeschwächter Voraussetzung (statt einer Vertikalgeraden nur ein ihren Schnitt mit der Achse des Reellen enthaltender, beliebig kurzer Teil der Geraden) in schwächerer Form, die jedoch den in dem vorstehenden Referat erwähnten Satz von Ikehara für Dirichletsche Reihen enthält. Sie beweisen: Es sei \[ \lambda _1<\lambda _2<\cdots <\lambda _n\cdots,\quad \lambda _n\to \infty. \]
\[ f(s) = \sum \limits _{n=1}^\infty a_n e^{\lambda _n s} \] konvergiere für \(\sigma >1\); die \(a_n\) seien \(\geq 0\). Es sei \(\lambda >0\); für \(|t|\leq 2\lambda \) sei bei \(\varepsilon \to +\infty \) gleichmäßig \[ h_\varepsilon (t) = f(1+\varepsilon + ti)-\frac 1{\varepsilon + ti}\to h(t). \] Dann ist \[ \limsup \limits _{y\to \infty } e^{-y}\sum \limits _{\lambda _n\leq y}a_n \leq P_1(\lambda ),\quad \liminf \limits _{y\to \infty } e^{-y}\sum \limits _{\lambda _n\leq y}a_n\geq P_2(\lambda ), \] wobei \[ \lim \limits _{\lambda \to \infty } P_1(\lambda ) = \lim \limits _{\lambda \to \infty } P_2(\lambda )=1 \] ist.
\(P_1\) und \(P_2\) sind positiv und hängen nur von \(\lambda \) ab. Die Verf. gehen beim Beweis ähnlich wie Bochner in der vorstehend besprochenen Arbeit vor, ohne dessen Beweis vorauszusetzen. Der Beweis, bei dem keine komplexe Funktionentheorie benutzt wird, geht von dem Nachweis folgender Tatsachen aus: Es sei \[ \begin{gathered} f_\lambda (t,y)=\frac 1{\pi }\Bigl (1-\frac {|t|}{2\lambda }\Bigr ) e^{tyi},\quad K_\lambda (y) = \frac 12\int \limits _{-2\lambda }^{+2\lambda } g_\lambda (t,y)dt,\\ b_\lambda (\alpha ) = \frac 1{\pi }\int \limits _{-\infty }^{\lambda \alpha } e^{\tfrac {v}{\lambda }}\frac {\sin ^2 v}{v^2}dv\quad \text{für } \alpha \lesseqqgtr 0. \end{gathered} \]
(1) Für \(y\lesseqqgtr 0\) ist \[ \begin{gathered} \sum \limits _{n=1}^\infty a_n e^{-\lambda _n}K_\lambda (y-\lambda _n) = \frac 12\int \limits _{-2\lambda }^{+2\lambda } g_\lambda (t,y) h(t)dt + \int \limits _{-\infty }^y K_\lambda (z) dz;\\ \sum \limits _{n=1}^\infty a_n e^{-\lambda _n}K_\lambda (y-\lambda _n)\to 1\quad \text{bei }y\to \infty ;\\ \sum \limits _{n=1}^\infty a_n e^{-\lambda _n}K_\lambda (y-\lambda _n)<P_3,\quad \text{für } y \lesseqqgtr 0;\\ \sum a_n e^{-\lambda _n}<\frac {P_4}{\lambda }\quad \text{für } z>P_5, \end{gathered} \] wobei die Summe über alle \(\lambda _n\) in \(\big \langle z -\frac 1{\lambda },z\big \rangle \) zu erstrecken ist; \[ \sum \frac {a_ne^{-\lambda _n}}{(\lambda _n-y)^2}<\frac {P_6}{\delta } \Bigl (\frac 1{\lambda \delta } + 1\Bigr )\quad \text{für }\delta >0, \;y>P_7, \] wobei die Summe über alle der Ungleichung \(|\lambda _n - y|>\delta \) genügenden \(\lambda _n\) zu erstrecken ist. \[ \begin{gathered} e^{-y}\sum \limits _{n=1}^\infty a_n b_\lambda (y-\lambda _n)\to 1\quad \text{bei } y\to \infty.\tag{2}\\ b_\lambda (a)>\frac {2}{\pi }\int \limits _0^{\lambda \delta } \frac {\sin ^2 v}{v^2} dv\quad \text{für }\alpha \geq \delta >0;\tag{3}\\ b_\lambda (\alpha )<\frac {e^\alpha }{\lambda \alpha ^2}\quad \text{für }\alpha <0; \;b_\lambda (\alpha )<e^\delta \quad \text{für } \delta >0, \;\alpha \leq \delta ;\\ b_\lambda (\alpha )<1+P_8\frac {\log (\lambda +2)}{\lambda }\frac {e^\alpha }{\alpha ^2}\quad \text{für }\alpha >0. \end{gathered} \] Dabei sind alle \(P\) positiv; \(P_3\) und \(P_4\) hängen nur von \(\lambda \) und \(\delta \), \(P_7\) hängt nur von \(\lambda \), \(\delta \) und \(f\) ab; \(P_4\), \(P_6\) und \(P_8\) sind absolute Konstanten.
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