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Eine Verallgemeinerung des Rolleschen Satzes auf komplexwertige Funktionen. (German) JFM 59.0256.04
Verf. hat in der Note “Eine gewisse Verallgemeinerung des Rolleschen Satzes auf komplexwertige Funktionen” (Journal L. M. S. 7 (1932), 6-9; F. d. M. 58) den folgenden Satz bewiesen: (I) Ist \(f(x)\) eine in \(<a,b>\) zweimal stetig differenzierbare, in keinem Teilintervall von \(<a,b>\) konstante komplexwertige Funktion der reellen Veränderlichen \(x\), und ist \(f(a) = f(b) = 0\), dann gilt \[ \underset {a\leqq x \leqq b} {\text{Min}} \left |\frac {f'{}^2(x)}{f''(x)}\right | \leqq \underset {a \leqq x \leqq b} {\text{Max}} |\mathfrak {J}f(x)|. \] Beim Beweis von (I) hat sich Verf. des folgenden Hilfssatzes bedient: (1) Ist \(\Gamma \) eine ebene geschlossene stetige Kurve, die mit ausnahme höchstens eines Punktes stetige Tangenten hat, und deren Krümmung (positiv genommen) bogenweise stetig ist mit Unstetigkeitsstellen von nur erster Art, ist ferner \(\varkappa \) die obere Grenze der Krümmung, \(\beta \) der Abstand von zwei \(\Gamma \) einschließenden parallelen Stütsgeraden von \(\Gamma \), dann ist \[ \beta \varkappa \geqq 2. \]
In der vorliegenden Arbeit gibt Verf. folgende Erweiterung von (I):
(II) Ist \(F(x)\) eine in \(<a,b>\) zweimal stetig differenzierbare, in keinem Teilintervall von \(<a,b>\) konstante komplexwertige Funktion der reellen Veränderlichen \(x\), ist ferner \[ F(a) = 0, \quad F(b) = 2\gamma \geqq 0, \quad \underset {a \leqq x \leqq b} {\text{Max}} |\mathfrak {J}F(x)| = \mu > 0, \] dann gilt \[ \underset {a \leqq x \leqq b} {\text{Min}} \left | \frac {F'{}^2(x)}{F''(x)}\right | \leqq \underset {a\leqq x \leqq b} {\text{Max}} \left (\mu,\frac {\gamma ^2 + \mu ^2}{2 \mu }\right ). \]
Der Beweis von (II) stützt sich auf die folgende Verallgemeinerung des Hilfssatzes (l): (2) Ist \(\Gamma \) ein ebener Kurvenbogen mit den Endpunkten \(A,B\), mit stetiger Tangente und bogenweise stetiger, Unstetigkeitsstellen von nur erster Art aufweisender Krümmung, ist ferner \(\varrho \) die untere Grenze der Krümmungsradien von \(\Gamma,\mu > 0\) die obere Grenze der Entfernung eines Punktes \(P \subset \Gamma \) von der Geraden \(AB\) und \(2\gamma \) die Länge der Strecke \(AB\), so gilt \[ \varrho \leqq \text{Max} \left (\mu,\frac {\gamma ^2 + \mu ^2}{2 \mu }\right ). \] (IV 4.)
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