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Théorie de l’intégrale. Avec une note de S. Banach. (French) JFM 59.0266.03
Monografie Matematyczne 2. Warszawa: Seminarium Matematyczne Uniwersytetu Warszawskiego; Warszawa: Instytut Matematyczny PAN. XII + 290 p. (1933).
Das Buch ist eine besonders wertvolle Bereicherung des bisherigen Bestandes an Darstellungen der Theorie des Integrals. Es führt bis zu den neuesten und feinsten Ergebnissen und ist dabei überaus klar geschrieben und sehr übersichtlich gegliedert. Jedes Kapitel hat seine eigene sachliche und historische Einleitung, wie überhaupt das ganze Buch reich an historischen Bemerkungen und Literaturnachweisen ist. Ein ausführliches Literaturverzeichnis ist außerdem beigegeben. Aus dem reichen, in elf Kapiteln gegliederten Stoff sei nur das Wesentliche genannt.
In Kap. I werden additive Intervallfunktionen und die für den Aufbau des Integrals nötigen Begriffe (beschränkte Schwankung, absolute Stetigkeit) und zugehörigen Sätze (kanonische Zerlegungen nach Jordan und Lebegue) gebracht.
Es folgt in Kap. II die Lebesguesche Maßtheorie, gipfelnd in den Sätzen von Egoroff (gleichmäßige Konvergenz von Folgen meßbarer Funktionen) und Lusin (Stetigkeit meßbarer Funktionen).
Kap. III behandelt die Funktionen beschränkter Schwankung und bringt insbesondere das klassische Theorem von Lebesgue über ihre Differenzierbarkeit. Anwendungen auf die Bogenlänge beschließen es.
Kap. IV führt das Lebesguesche Integral als Stammfunktion des Integranden ein. Es folgen die wichtigsten Eigenschaften, Sätze über partielle Integration, der Fubinische Satz über die Integrationsfolge bei mehrfachen Integralen und wieder Anwendungen auf die Bogenlänge.
Kap. V bringt die auf dem Maßbegriff beruhende übliche geometrische Definition des bestimmten Lebesgueschen Integrals. Es werden die Mittelwertsätze, die Sätze über gliedweise Integration von Funktionsfolgen und schließlich das Theorem von Vitali-Carathéodory (Approximation meßbarer Funktionen durch halbstetige) bewiesen. Die Beziehungen zu den Integralen von Riemann und Stieltjes bilden den Schluß.
Kap. VI ist der Oberflächenbestimmung gewidmet, einem besonders interessanten Anwendungsgebiet des Lebesgueschen Integrals. Hier werden weitgehende Sätze von Radò und Tonelli gebracht.
Kap. VII behandelt das Perronsche Integral und seine Beziehungen zum Lebesgueschen.
Kap. VIII bereitet das Denjoysche Integral vor. Der Begriff der beschränkten Schwankung und absoluten Stetigkeit einer Funktion wird verallgemeinert (Denjoy, Lusin, Khintchine).
Kap. IX ist der Theorie der derivierten Zahlen gewidmet. Nach allgemeinen Sätzen folgen solche, die sich auf die in Kap. VIII behandelten Funktionsklassen beziehen und zum Teil aus Eigenschaften der derivierten Zahlen auf die Klassen zurückzuschließen gestatten (Denjoy).
In Kap. X folgt die Darstellung des Denjoyschen Integrals und seiner Haupteigenschaften. Es werden die Beziehungen zum Lebesgueschen und Perronschen Integral geklärt (Hake, Alexandroff, Looman). Schließlich wird noch eine konstruktive Definition des DenjoyschenIntegrals gegeben, die die Verwandtschaft mit den klassischen Definitionen des uneigentlichen Integrals (Cauchy, Harnack) zeigt.
Das Schlußkapitel XI bringt (in extenso bei Funktionen von zwei Veränderlichen) Untersuchungen über die Existenz des totalen und approximativen Differentials (Sätze von Rademacher, Stepanoff, Haslam-Jones). Es folgen sodann Untersuchungen über die Charakterisierung analytischer Funktionen einer komplexen Veränderlichen durch ihren Real- und Imaginärteil. Insbesondere wird der schöne Satz von Looman und Menchoff über die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen als hinreichende Bedingung gebracht.
Das Buch schließt mit zwei Anhängen. Der erste behandelt die Definition des Lebesgueschen Integrals in abstrakten Räumen. Der zweite Anhang ist eine Note von Stefan Banach, die sich mit einem neuerlich von A. Haar in die Theorie der kontinuierlichen Gruppen eingeführten Maßbegriff beschäftigt. (IV 3 B.)

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